3 Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Persamaan kuadrat pada variabel x merupakan persamaan yg berbentuk ax2+ bx + c = 0 menggunakan a, b, serta c adalah sapta real serta a≠0. Dalam persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, a adalah koefisien berdasarkan x2, b merupakan koefisien dari x dan c merupakan suku tetapan atau konstanta.
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai cara menentukan akar persamaan kuadrat menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna serta dengan menggunakan rumus ABC. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan ini dia. Selamat belajar.
#1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
Terdapat empat bentuk persamaan kuadrat yg perlu kalian ketahui, yaitu menjadi berikut.
1) Persamaan kuadrat bentuk ax2+ bx + c menggunakan a = 1.
2) Persamaan kuadrat bentuk ax2+ bx + c menggunakan a≠1 dan a≠0.
3) Persamaan kuadrat bentuk ax2+ bx atau nilai c = 0.
4) Persamaan kuadrat bentuk x2–c atau nilai b = 0.
Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tadi, masih ada cara yg tidak selaras dalam memfaktorkan atau mencari akar-akarnya. Agar kalian lebih memahami mengenai faktorisasi, ayo kita bahas satu persatu metode faktorisasi berikut ini.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2+ bx + c dengan a = 1
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yg berbentuk ax2+ bx + c = 0 dengan a = 1 melalui metode pemfaktoran, kalian bisa menggunakan langkah-langkah ini dia.
Persamaan Kuadrat
Rumus Pemfaktoran
Keterangan
ax2+ bx + c = 0
(ax + p)(ax + q) = 0
p + q = b
p × q = ac
Untuk menentukan akar persamaan kuadrat, perhatikan cara berikut:
#1 Tentukan 2 angka, misalnya p dan q yang jika dijumlahkan hasilnya sama menggunakan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan a × c. Untuk menentukan nilai pasangan p dan q secara gampang, kalian bisa mencari sapta-bilangan yang merupakan faktor berdasarkan ac.
#dua Jika nilai p dan q telah ditentukan, masukan nilai p serta q tadi ke dalam rumus pemfaktoran pada atas.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar menurut tiap persamaan ini dia.
a) x2–5x + 6 = 0
b) x2+ 9x + 14 = 0
Jawab
a) x2–5x + 6 = 0
Diketahui nilai dari a = 1, b =–lima, c = 6 serta ac = 1 × 6 = 6. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor berdasarkan 6 yaitu menjadi berikut.
-6,-3,-2, -1, 1, 2, 3, 6
Dari delapan bilangan pada atas, mana 2 angka yang apabila dijumlah hasilnya -lima dan jika dikalikan hasilnya 6? Tentu saja angka -dua dan -tiga bukan? Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -tiga (dibalik juga mampu). Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
⇔(ax + p)(ax + q) = 0
⇔x + (-2)x + (-3) = 0
⇔(x–dua)(x–tiga) = 0
⇔x = dua atau x = 3
Dengan demikian, akar menurut x2–5x + 6 = 0 adalah 2 atau tiga.
b) x2+ 9x + 14 = 0
Diketahui nilai berdasarkan a = 1, b = 9, c = 14 dan ac = 1 × 14 = 14. Faktor berdasarkan 14 yaitu menjadi berikut.
-14, -7, -dua, -1, 1,dua,7, 14
Dari delapan bilangan pada atas, 2 nomor yg jika dijumlah hasilnya 9 serta apabila dikalikan hasilnya 14 adalah angka dua serta 7. Dengan demikian kita peroleh p = dua serta q = 7. Dengan mensubtitusikan nilai p serta q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
⇔(ax + p)(ax + q) = 0
⇔(x + 2)(x + 7) = 0
⇔x = -dua atau x = -7
Dengan demikian, akar dari x2+ 9x + 14 = 0 adalah -2 atau -7.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2+ bx + c menggunakan a≠1
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2+ bx + c = 0 dengan a≠1 melalui metode pemfaktoran, kalian bisa menggunakan langkah-langkah ini dia.
Persamaan Kuadrat
Rumus Pemfaktoran
Keterangan
ax2+ bx + c = 0
(ax + p)(ax + q)
= 0
p + q = b
a
p × q = ac
Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat kita cari dahulu nilai p serta q menggunakan ketentuan yg sama menggunakan cara di atas.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar menurut tiap persamaan ini dia.
a) 4x2–12x + 9 = 0
b) 3x2+ 22x–16 = 0
Jawab
a) 4x2–12x + 9 = 0
Diketahui nilai menurut a = 4, b =–12, c = 9 dan ac = 4 × 9 = 36. Untuk menentukan nilai p serta q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.
-36, -18, -12, -9,-6, -4, -tiga, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Dari sapta-sapta bulat di atas, pasangan angka yang jika dijumlah hasilnya -12 dan apabila dikalikan hasilnya 36 merupakan angka -6 serta pula -6. Dengan demikian kita peroleh p = -6 serta q = -6. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
⇔
(ax + p)(ax + q)
= 0
a
⇔
(4x–6)(4x–6)
= 0
4
⇔
2(2x–tiga) × dua(2x–3)
= 0
4
⇔
4(2x–tiga)(2x–tiga)
= 0
4
⇔(2x–3)(2x–tiga) = 0
⇔2x–tiga = 0
⇔2x = 3
⇔x = tiga/2
Dengan demikian, akar menurut 4x2–12x + 9 = 0 merupakan 3/dua.
b) 3x2+ 22x–16 = 0
Diketahui nilai dari a = tiga, b = 22, c =–16 dan ac = tiga × (–16) =–48. Untuk memilih nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu menjadi berikut.
-48, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3,-dua, -1, 1, 2, tiga, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48
Dari sapta-bilangan bulat di atas, pasangan nomor yg jika dijumlah hasilnya 22 serta jika dikalikan hasilnya–48 merupakan angka -dua serta 24. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 24. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.
⇔
(ax + p)(ax + q)
= 0
a
⇔
(3x–2)(3x + 24)
= 0
3
⇔
(3x–2) × tiga(x + 8)
= 0
3
⇔(3x–2)(x + 8)= 0
⇔3x–dua = 0 atau x + 8 = 0
⇔3x = dua atau x = -8
⇔x = dua/3 atau x = -8
Dengan demikian, akar berdasarkan 3x2+ 22x–16 = 0 merupakan dua/3 atau -8.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2+ bx
Untuk menentukan akar menurut persamaan kuadrat yang berbentuk ax2+ bx = 0, caranya sangat gampang sekali yaitu menggunakan mengubah bentuk persamaan kuadrat itu sebagai bentuk perkalian faktor-faktor aljabar dalam variabel x. Perhatikan langkah berikut.
ax2+ bx = ax(x + b/a) = 0
⇔ax(x + b/a) = 0
⇔ax = 0 atau x + b/a = 0
⇔x = 0 atau x =–b/a
Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat bentuk ax2+ bx = 0 merupakan 0 atau–b/a.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar menurut tiap persamaan ini dia.
a) 4x2–20x = 0
b) 3x2+ 5x = 0
Jawab
a) 4x2–20x = 0
⇔4x2–20x = 4x(x–20/4) = 0
⇔4x(x–20/4) = 0
⇔4x = 0 atau x–20/4 = 0
⇔x = 0 atau x = 20/4 = 5
Dengan demikian, akar berdasarkan 4x2–20x = 0 merupakan 0 atau lima.
b) 3x2+ 5x = 0
Kita dapat menentukan akar persamaan kuadrat ini dengan cepat tanpa melalui perhitungan yaitu menggunakan menggunakan rumus x = 0 atau x = -b/a sebagai akibatnya kita peroleh akar-akar dari 3x2+ 5x = 0 adalah 0 atau -lima/tiga.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk x2–c
Persamaan kuadrat berbentuk x2–c bisa kita ubah menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya, yaitu:
x2–c = (x–b)(x + b) dengan b =√c
Sehingga kita peroleh akar-akarnya yaitu–b serta b.
Contoh Soal:
Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar menurut tiap persamaan ini dia.
a) x2–16 = 0
b) x2–25 = 0
Jawab
a) x2–16 = 0
⇔x2–16 = (x–√16)(x +√16) = 0
⇔(x–√16)(x +√16) = 0
⇔(x–4)(x + 4) = 0
⇔x–4 = 0 atau x + 4 = 0
⇔x = 4 atau x = -4
Dengan demikian, akar berdasarkan x2–16 = 0 merupakan 4 atau -4.
b) x2–25 = 0
Dengan menggunakan rumus, b =√c maka kita peroleh b =√-25
b =√-25
b =√25
b = 5
Dengan demikian, akar-akar berdasarkan x2–25 = 0 merupakan 5 atau -5.
#2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat menggunakan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Berikut ini adalah langkah-langkah pada memilih akar-akar persamaan kuadrat menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Misalnya terdapat sebuah persamaan berbentuk ax2+ bx + c = 0 menggunakan a, b, c∈R serta a≠0. Maka dengan melengkapkan kuadrat paripurna, akar-akarnya bisa dicari langkah-langkah berikut.
#1 Tentukan nilai a, b dan c
#dua Bagi kedua ruas dengan a
#tiga Kurangi kedua ruas dengan nilai c
Jika a = 1, maka gunakan nilai c berdasarkan persamaan kuadrat lama
Jika a≠1, maka gunakan nilai c menurut persamaan kuadrat baru serta berlaku buat langkah berikutnya
#4 Tambahkan (b/2a)2pada ke 2 ruas
#5 Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
Bentuk persamaan kuadrat sempurna yang dimaksud merupakan menjadi berikut.
(x + p)dua= q dengan q≥0
#6 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
Akar persamaan kuadrat dipengaruhi sesuai menggunakan bentuk persamaan yang terakhir. Adapun akar menurut persamaan tersebut bisa dicari menggunakan rumus ini dia.
(x + p) = ±√q atau x =–p ±√q
Contoh Soal:
Dengan melengkapkan kuadrat paripurna, tentukanlah akar-akar berdasarkan persamaan x2+ 8x + 12 = 0
Jawab
1) Persamaan x2+ 8x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = 8 dan c = 12
2) Karena a = 1, maka kita pribadi menuju langkah 3
3) Kurangi kedua ruas menggunakan nilai c
⇔x2+ 8x + 12 = 0
⇔x2+ 8x + 12–12 = 0–12
⇔x2+ 8x =–12
4) Tambahkan (b/2a)dua= (8/dua.1)dua= 16 pada kedua ruas.
⇔x2+ 8x =–12
⇔x2+ 8x + 16 =–12 + 16
⇔x2+ 8x + 16 = 4
5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)dua= q
⇔x2+ 8x + 16 = 4
⇔(x + 4)dua= 4
6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ±√q
⇔(x + 4)dua= 4
⇔x + 4 =±√4
⇔x + 4 =±2
⇔x1=–4 + 2 =–2 atau x2=–4–2 =–6
Jadi, akar-akarnya adalah x1=–dua atau x2=–6 ditulis HP = –6,–dua
#3 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat menggunakan Rumus ABC
Rumus ABC atau rumus kuadrat umumnya digunakan buat menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat yang sulit buat difaktorkan. Akan tetapi lantaran menggunakan perhitungan yang agak rumit, buat bentuk persamaan kuadrat sederhana yang masih mampu difaktorkan menggunakan gampang, dalam umumnya orang lebih menyukai metode pemfaktoran selain karena mereka nir hafal rumus ABC ini. Bentuk Rumus ABC yg dimaksud adalah menjadi berikut.
x1,2
=
–b ±√
b2–4ac
2a
Rumus kuadrat di atas sebenarnya diperoleh menggunakan proses melengkapkan kuadrat paripurna pada bentuk persamaan ax2+ bx + c. Apabila kalian ingin mengetahui bagaimana caranya menerima rumus ABC pada atas, silahkan kalian baca artikel tentang dua cara verifikasi rumus ABC (Rumus Kuadrat) secara mudah.
Contoh Soal :
Dengan menggunakan rumus ABC, tentukanlah akar-akar berdasarkan persamaan x2+ 8x + 12 = 0
Jawab
Persamaan x2+ 8x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = 8 serta c = 12.
x1,2
=
–b ±√
b2–4ac
2a
x1,2
=
–8 ±√
82–4(1)(12)
2(1)
x1,2
=
–8 ±√
64–48
2
x1,2
=
–8 ±√
16
2
x1,2
=
–8 ± 4
2
x1,2=–4 ± 2
x1=–4–dua =–6
x2=–4 + dua =–2
Jadi akar-akarnya adalah x1=–6 atau x2=–dua dan bisa kita tuliskan HP = –6,–dua.
