5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV Contoh Soal dan Pembahasan Bagian 1 Terbaru
SPLTV adalah kependekan dari Sistem Persamaan Linier Tiga (tiga) Variabel. Sistem persamaan linear 3 variabel merupakan suatu persamaan matematika yang terdiri atas tiga persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum menurut Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, serta z dapat ditulis menjadi berikut:
ax + by + cz = d
atau
a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h
a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, serta d3 merupakan bilangan-sapta real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien menurut z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear 3 variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, antara lain merupakan menggunakan metode subtitusi, eliminasi, campuran (adonan), determinan dan invers metrik. Nah, ini dia penjelasan kelima jenis metode penyelesaian SPLTV tadi. Silahkan kalian simak baik-baik.
1. Penyelesaian SPLTV Metode Subtitusi
Adapun langkah-langkah buat menuntaskan SPLTV menggunakan metode subtitusi merupakan menjadi berikut.
Langkah 1:
Pilihlah galat satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x serta z, atau z menjadi fungsi x dan y.
Langkah dua:
Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh dalam langkah 1 ke pada 2 persamaan yg lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear 2 variabel (SPLDV).
Langkah tiga:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh dalam langkah dua.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut adalah dengan metode subtitusi.
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yg terdapat, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
■Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ tiga(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 ……………….. Pers. (1)
■Subtitusikan variabel x ke pada persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………….. Pers. (2)
■Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y serta z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
■Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tadi dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yg paling sederhana yaitu persamaan kedua. Dari persamaan ke 2, kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
■Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
■Subtitusikan nilai z = 7 ke keliru satu SPLDV, misal y – z = –4 sebagai akibatnya kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
■Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 3 serta z = 7 ke salah satu SPLTV, misal x – 2y + z = 6 sebagai akibatnya kita peroleh
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(tiga) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = tiga serta z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas merupakan (5, tiga, 7).
Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yg diperoleh telah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, serta z ke dalam tiga SPLTV di atas.
■Persamaan pertama
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(tiga) + 7 = 6
⇒ lima – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (sahih)
■Persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ tiga(lima) + 3 – dua(7) = 4
⇒ 15 + tiga – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
■Persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(lima) – 6(tiga) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Berdasarkan verifikasi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y serta z yang diperoleh telah sahih serta memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
2. Penyelesaian SPLTV Metode Eliminasi
Adapun langkah-langkah buat menuntaskan SPLTV dengan metode eliminasi adalah menjadi berikut.
Langkah 1:
Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.
Langkah dua:
Eliminasi atau hilangkan keliru satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah tiga:
Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah.
Langkah 4:
Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) buat memperoleh nilai peubah yg ke 2.
Langkah lima:
Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) dari nilai (y serta z) yg diperoleh.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut menggunakan memakai metode eliminasi.
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yg akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya mudah, lihat peubah yg paling sederhana. Pada tiga persamaan pada atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z menurut ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka pribadi saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan ke 2 dan persamaan ke 2 menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai peubah z hilang. Prosesnya misalnya pada bawah ini.
■Dari persamaan pertama dan ke 2:
2x – y + z
=
6
x – 3y + z
=
–2
−
x + 2y
=
8
■Dari persamaan kedua dan ketiga:
x – 3y + z
=
–2
x + 2y – z
=
3
+
2x – y
=
1
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
x + 2y = 8
2x – y = 1
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas menggunakan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x dengan mengeliminasi y. Untuk bisa mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y menurut ke 2 persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien y = 2
2x – y = 1 → koefisien y = –1
Agar kedua koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan ke 2 kita kali menggunakan 2. Setelah itu, ke 2 persamaan kita jumlahkan. Prosesnya merupakan menjadi berikut.
x + 2y
=
8
× 1
→
x + 2y
=
8
2x – y
=
1
× 2
→
4x – 2y
=
2
+
5x
=
10
x
=
2
Kedua, kita tentukan nilai y menggunakan mengeliminasi x. Untuk bisa mengeliminasi peubah x, maka kita jua harus menyamakan koefisien x berdasarkan ke 2 persamaan. Perhatikan penerangan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien x = 1
2x – y = 1 → koefisien x = 2
Agar ke 2 koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, kedua persamaan kita selisihkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x + 2y
=
8
× 2
→
2x + 4y
=
16
2x – y
=
1
× 1
→
2x – y
=
1
−
5y
=
15
y
=
3
Sampai dalam tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = dua dan y = 3. Langkah terakhir, buat menerima nilai z, kita subtitusikan nilai x serta y tadi ke dalam galat satu SPLTV, contohnya persamaan 2x – y + z = 6 sehingga kita peroleh:
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ dua(dua) – tiga + z = 6
⇒ 4 – tiga + z = 6
⇒ 1 + z = 6
⇒ z = 6 – 1
⇒ z = 5
Dengan demikian kita peroleh nilai x = dua, y = 3 dan z = lima sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah (dua, tiga, 5).
3. Penyelesaian SPLTV Metode Gabungan
Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan memakai metode adonan/adonan merupakan cara penyelesaian menggunakan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi serta metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.
Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 3 variabel di bawah ini menggunakan menggunakan metode campuran.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8
Jawab:
■Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yg akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yg paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana merupakan y sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita wajib menyamakan koefisien masing-masing y berdasarkan ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1
Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama serta persamaan ketiga dengan dua sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
x – y + 2z
=
4
× 2
→
2x – 2y + 4z
=
8
2x + 2y – z
=
2
× 1
→
2x + 2y – z
=
2
3x + y + 2z
=
8
× 2
→
6x + 2y + 4z
=
16
Setelah koefisien y ketiga persamaan telah sama, maka eksklusif saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama menggunakan persamaan kedua dan persamaan ke 2 menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel y hilang. Prosesnya misalnya di bawah ini.
●Dari persamaan pertama serta kedua:
2x – 2y + 4z
=
8
2x + 2y – z
=
2
+
4x + 3z
=
10
●Dari persamaan ke 2 serta ketiga:
2x + 2y – z
=
2
6x + 2y + 4z
=
16
−
−4x − 5z
=
−14
4x + 5z
=
14
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14
■Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x menjadi berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV ke 2 menjadi berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2
Kemudian, buat memilih nilai x, kita subtitusikan nilai z = dua ke dalam keliru satu SPLDV, contohnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:
⇒ 4x + tiga(dua) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1
Langkah terakhir, buat memilih nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam keliru satu SPLTV pada atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:
⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + dua(dua) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ 5 – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 serta z = dua sebagai akibatnya himpunan penyelesaian SPLTV pada atas merupakan (1, 1, 2).
