6 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLDV Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru

SPLDV adalah kependekan dari Sistem Persamaan Linier Dua (2) Variabel. SPLDV  merupakan suatu persamaan matematika yg terdiri atas dua persamaan linear yg masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum menurut Sistem Persamaan Linear Dua Variabel pada x dan y dapat kita tuliskan menjadi berikut.

ax + by = c

atau

a1x + b1y = c1

px + qy = r

a2x + b2y = c2

Dengan a, b, c, p, q dan r atau a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 adalah bilangan-sapta real.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear 2 variabel (SPLDV) dapat dipengaruhi dengan beberapa cara, antara lain merupakan dengan metode grafik, subtitusi, eliminasi, campuran (adonan), determinan dan invers metrik. Nah, berikut ini penjelasan keenam jenis metode penyelesaian SPLDV tersebut. Silahkan kalian simak baik-baik.

1. Penyelesaian SPLDV Metode Grafik

Langkah-langkah buat merampungkan SPLDV menggunakan metode grafis merupakan menjadi berikut.

Langkah 1:

□Tentukan koordinat titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-X serta sumbu-Y.

□Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan dalam sebuah bidang Cartesius.

Langkah dua:

□apabila ke 2 garis berpotongan dalam satu titik, maka himpunan solusinya tepat memiliki satu anggota.

□apabila ke 2 garis sejajar, maka himpunan solusinya nir memiliki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dan ditulis ∅.

□Jika ke 2 garis saling berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai anggota yg tak sampai banyaknya.

Dengan memakai sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar dan 2 garis berimpit, maka bayaknya anggota menurut himpunan penyelesaian SPLDV berikut.

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dapat ditetapkan menjadi berikut.

1. Apabila a1b2– a2b1≠ 0, maka SPLDV tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan solusinya.

2. Jika a1b2– a2b1 = 0 serta a1c2– a2c1≠ 0 atau c1b2– c2b1≠ 0, maka SPLDV tidak mempunyai anggota pada himpunan solusinya.

3. Jika a1b2– a2b1 = 0 serta a1c2– a2c1 = 0 atau c1b2– c2b1 = 0, maka SPLDV memiliki anggota yg tidak sampai banyaknya.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV: x + y = lima serta x − y = 1 untuk x, y ∈ R memakai metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik pangkas masing-masing persamaan dalam sumbu-X serta sumbu-Y

■x + y = 5

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya merupakan y = 0

⇔ x + 0 = 5

⇔ x = 5

Titik pangkas (lima, 0)

Titik pangkas dengan sumbu-Y, syaratnya merupakan x = 0

⇔ 0 + y = 5

⇔ y = 5

Titik pangkas (0, 5)

■x − y = 1

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya merupakan y = 0

⇔ x − 0 = 1

⇔ x = 1

Titik potong (1, 0)

Titik pangkas dengan sumbu-Y, syaratnya merupakan x = 0

⇔ 0 − y = 1

⇔ y = −1

Titik potong (0, -1)

Kedua, kita gambarkan grafik menurut masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius misalnya yg ditunjukkan dalam gambar pada bawah ini.

Dari gambar grafik pada atas, titik pangkas ke 2 grafik tadi adalah pada titik (tiga, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan x + y = lima serta x – y = 1 buat x, y ∈ R merupakan (3, dua).

2. Penyelesaian SPLDV Metode Subtitusi

Adapun langkah-langkah buat merampungkan SPLDV menggunakan metode subtitusi adalah menjadi berikut.

Langkah 1:

Pilihlah keliru satu persamaan (jika terdapat pilih yang paling sederhana), kemudian nyatakan x menjadi fungsi y atau y menjadi fungsi x.

Langkah dua:

Subtitusikan nilai x atau y yang diperoleh berdasarkan langkah 1 ke persamaan yg lain.

Contoh Soal:

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut adalah.

5x + 5y = 25

3x + 6y = 24

Jawab

5x + 5y = 25 ………. Pers. (1)

3x + 6y = 24 ………. Pers. (dua)

Dari persamaan (1) kita peroleh persamaan y menjadi berikut.

⇔ 5x + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 5x

⇔ y = lima – x

Lalu kita subtitusikan persamaan y ke persamaan (2) sebagai berikut.

⇔ 3x + 6(5 – x) = 24

⇔ 3x + 30 – 6x = 24

⇔ 30 – 3x = 24

⇔ 3x = 30 – 24

⇔ 3x = 6

⇔x = 2

Terakhir, untuk memilih nilai y, kita subtitusikan nilai x ke persamaan (1) atau persamaan (2) menjadi berikut.

⇔ lima(dua) + 5y = 25

⇔ 10 + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 10

⇔ 5y = 15

⇔y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut merupakan (2, 3).

3. Penyelesaian SPLDV Metode Eliminasi

Adapun cara untuk menuntaskan SPLDV menggunakan metode eliminasi adalah menjadi berikut.

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) variabel y. Sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi variabel x.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 8

x – y = 10

Jawab

Dari kedua persamaan di atas, kita sanggup melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki sang peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y bisa kita eliminasi (hilangkan) menggunakan cara dijumlahkan, sebagai akibatnya nilai x mampu kita tentukan menggunakan cara berikut adalah.

2x + y

=

8

x – y

=

10

+

3x

=

18

x

=

6

Selanjutnya, kita akan memilih nilai y menggunakan cara mengeliminasi variabel x. Untuk dapat mengeliminasi variabel x, maka kita wajib menyamakan koefisien x berdasarkan kedua persamaan. Perhatikan penerangan berikut.

2x + y = 8 → koefisien x = 2

x – y = 10 → koefisien x = 1

Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali menggunakan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita kurangkan. Perhatikan langkah berikut.

2x + y

=

8

× 1

→

2x + y

=

8

x – y

=

10

× 2

→

2x – 2y

=

20

−

3y

=

-12

y

=

-4

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah (6, -4).

4. Penyelesaian SPLDV Metode Gabungan

Metode adonan adalah suatu metode yang dipakai buat mencari himpunan penyelesaian SPLDV menggunakan cara menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi.

Pertama, memakai metode eliminasi buat mencari keliru satu nilai variabelnya, selesainya nilai variabel diperoleh, maka nilai variabel tadi disubtitusikan ke dalam keliru satu persamaan buat mendapatkan nilai variabel lainnya.

Agar nir gundah, yuk kita coba selesainkan sistem persamaan linear dua variabel ini dia.

x + y = 7

x – y = 3

Dengan menggunakan metode adonan, langkah-langkah penyelesaian SPLDV pada atas adalah sebagai berikut.

Langkah 1 (eliminasi keliru satu variabel)

Pertama, kita akan mengeliminasi (menghilangkan) galat satu variabel, misalnya x. Lantaran koefisien x dalam kedua persamaan telah sama maka kita bisa pribadi mengurangkan ke 2 persamaan tadi, yaitu menjadi berikut.

x+ y

=

7

x – y

=

3

−

2y

=

4

y

=

2

Langkah 2 (subtitusi nilai variabel yang telah diperoleh)

Selanjutnya, buat memperoleh nilai x, kita bisa mensubtitusikan nilai y ke salah satu persamaan, contohnya persamaan x + y = 7, sebagai akibatnya diperoleh:

x + y = 7

x + dua = 7

x = 7 – 2

x = 5

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 5 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan pada atas merupakan (lima, 2).

Contoh Soal:

Dengan memakai metode adonan, carilah himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan berikut adalah.

2x + y = 8

x – y = 10

Jawab

Dari kedua persamaan di atas, kita sanggup melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki sang peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y bisa kita eliminasi (hilangkan) menggunakan cara dijumlahkan, sebagai akibatnya nilai x mampu kita tentukan menggunakan cara berikut adalah.

2x + y

=

8

x – y

=

10

+

3x

=

18

x

=

6

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai y dengan cara mensubtitusikan nilai x ke galat satu persamaan, misalnya persamaan x – y = 10. Sehingga kita peroleh output sebagai berikut.

x – y = 10

6 – y = 10

y = 6 – 10

y = -4

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah (6, -4).

5. Penyelesaian SPLDV Metode Determinan

Metode determinan acapkali pula diklaim dengan metode cramer. Determinan adalah suatu sapta yang berkaitan menggunakan matriks bujur kandang (persegi). Determinan dapat jua digunakan buat mencari penyelesaian sistem persamaan linear baik 2 variabel (SPLDV) juga tiga variabel (SPLTV).

Langkah-langkah untuk memilih himpunan penyelesaian menggunakan metode determinan merupakan sebagai berikut.

Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear 2 variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan masih ada sistem persamaan berikut.

ax + by = e

cx + dy = f

persamaan pada atas kita ubah sebagai bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A

=

a

b

c

d

X

=

x

y

B

=

e

f

Sehingga persamaan 1 di atas sebagai bentuk matriks berikut.

a

b

x

=

e

c

d

y

f

Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx) dan determinan y (Dy)dengan persamaan berikut.

D

=

a

b

=

ad − bc

c

d

D adalah determinan menurut matriks A.

Dx

=

e

b

=

de − bf

f

d

Dx adalah determinan berdasarkan matriks A yang kolom pertama diganti menggunakan elemen-elemen matriks B.

Dy

=

a

e

=

af − ce

c

f

Dy merupakan determinan menurut matriks A yg kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y menggunakan persamaan berikut.

x

=

Dx

dan

y

=

Dy

D

D

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 3

3x + 5y = 1

Jawab:

Pertama, kita ubah sistem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks berikut

2

1

x

=

3

3

5

y

1

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx serta Dy dengan ketentuan seperti dalam langkah-langkah di atas.

D

=

2

1

=

(2)(5) – (1)(tiga) = 10 – 3 = 7

3

5

Dx

=

3

1

=

(3)(lima) – (1)(1) = 15 – 1 = 14

1

5

Dy

=

2

3

=

(2)(1) – (3)(tiga) = dua – 9 = -7

3

1

Ketiga, kita tentukan nilai x dan y memakai nilai-nilai determinan di atas.

x = Dx/D = 14/7 = 2

y = Dy/D = -7/7 = -1

Dengan demikian, himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan linear pada atas merupakan HP = (2, -1).

6. Penyelesaian SPLDV Metode Invers Metrik

Bentuk generik sistem persamaan linear dua variabel merupakan:

ax + by = p …………… Pers. (a)

cx + dy = q …………… Pers. (b)

Persamaan (a) serta (b) pada atas bisa kita susun ke pada bentuk matriks misalnya pada bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x serta y. Sedangkan matriks B memuat konstanta ke 2 persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut

a

b

x

=

p

c

d

y

q

Tujuan merampungkan sistem persamaan linear 2 variabel merupakan buat menentukan nilai x serta nilai y yg memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B wajib kita ubah sebagai bentuk invers misalnya berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 adalah invers matriks A. Bentuk matriks dari X = A-1B merupakan sebagai berikut.

x

=

1

d

−b

p

y

ad – bc

−c

a

q

Nah, rumus inilah yang digunakan buat memilih nilai x dan y dari sistem persamaan linear 2 variabel.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 2 variabel ini dia.

2x – 3y = 3

x + 2y = 5

Pembahasan

Pertama, kita ubah SPLDV pada atas menjadi bentuk matriks AX = B

2

−3

x

=

3

1

2

y

5

Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B

x

=

1

2

−(-3)

3

y

(2)(2) – (-3)(1)

−1

2

5

x

=

1

2

3

3

y

4 – (-3)

−1

2

5

x

=

1

2

3

3

y

7

−1

2

5

Ketiga, selesaikan persamaan matriks pada atas

x

=

1

6 + 15

y

7

−3 + 10

x

=

1

21

y

7

7

x

=

21/7

y

7/7

x

=

3

y

1

Jadi, kita peroleh nilai x = tiga serta nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah HP = (tiga, 1).