Biimplikasi Logis Pengertian Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Dalam logika kita mengenal yg namanya kalimat beragam. Kalimat majemuk merupakan kalimat yang terdiri atas dua pernyataan atau kalimat terbuka. Kalimat majemuk dalam nalar matematika dikategorikan menjadi konjungsi, disjungsi, akibat serta biimplikasi. Masih ingatkah kalian dengan apa yang dimaskud biimplikasi itu?
Biimplikasi adalah dua pernyataan p dan q yg dirangkai menggunakan menggunakan tanda hubung “jika serta hanya apabila”. Biimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Adapun tabel nilai kebenaran biimplikasi berdasarkan pernyataan p serta q adalah sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔q
p
q
p ⇔ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Sekarang, supaya kalian lebih tahu mengenai konsep biimplikasi dalam nalar matematika, silahkan simak beberapa contoh soal serta pembahasannya ini dia.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut adalah.
a) P ∩ Q = Q jika dan hanya bila Q ⊆ P.
b) Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar apabila serta hanya jika b2– 4ac = 0.
Jawab:
a) Misalkan p: P ∩ Q = Q dan q: Q ⊆ P. Maksud menurut pernyataan p dan q adalah sebagai berikut.
□ p: P ∩ Q = Q, dengan “∩” dibaca irisan. P ∩ Q berarti suatu himpunan yg memuat semua elemen yg sama-sama dimiliki sang P dan Q. Sebagai contoh, apabila P = a, b, c, d, e dan Q = a, c, e, g, i maka P ∩ Q = a, c, e.
□q: Q ⊆ P, dengan “⊆” dibaca subset. Q ⊆ P berarti setiap elemen Q pula merupakan elemen P. Sebagai contoh, bila Q = a, b, dan c maka a, b, serta c jua adalah elemen menurut P. Tetapi setiap elemen P belum tentu menjadi elemen Q.
Sekarang, buat memilih nilai kebenaran biimplikasi di atas, kita buat permisalan sebagai berikut.
Misalkan:
Himpunan P = 1, 2, 3, 4, 5
Himpunan Q = 1, dua, 3
Berarti bisa dikatakan Q ⊆ P serta P ∩ Q = 1, dua, tiga. Dengan demikian P ∩ Q = Q. Jadi kalimat “P ∩ Q = Q bila dan hanya bila Q ⊆ P” merupakan benar.
b) Misalkan p: Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar dan q: b2– 4ac = 0. Suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 akan mempunyai akar-akar sama (akar kembar), real serta rasional apabila nilai diskriminan D = 0. Nilai diskriminan dipengaruhi dengan persamaan berikut.
D = b2– 4ac
Dengan demikian, kalimat “Persamaan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar kembar bila serta hanya apabila b2– 4ac = 0” adalah sahih.
Contoh Soal dua:
Carilah nilai x supaya setiap kalimat berikut sebagai biimplikasi yang bernilai sahih.
Log 10 = 1 jika serta hanya bila x3 + 1 = 0
Jawab:
Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 dan kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan menjadi berikut.
Log 10 = 10log 101 = 1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai sahih. Agar p ⇔ q sahih, maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x = -1.
Contoh Soal 3:
Carilah nilai x supaya kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yg bernilai galat.
Log 16 = (log 4)dua bila serta hanya bila x2– 16 = 0.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: Log 16 = (log 4)dua dan kalimat terbuka q: x2– 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan menjadi berikut.
Log 16 = log (4 × 4)
Log 16 = log 4 + log 4
(log 4)dua = log 4 × log 4
Jadi log 16 ≠ (log 4)2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah . Agar p ⇔ q galat, maka kalimat terbuka q(x) wajib menjadi pernyataan yang bernilai sahih, sebagai akibatnya nilai x yg memenuhi adalah menjadi berikut.
x2– 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x = -4 atau x = 4
Jadi, kalimat “Log 16 = (log 4)2 jika serta hanya bila x2– 16 = 0” akan sebagai biimplikasi yg galat, apabila nilai x = -4 atau x = 4.
Apa itu Biimplikasi Logis?
Untuk memahami pengertian biimplikasi logis, simaklah pulang kalimat yang berbentuk p(x) ⇔ q(x) berikut.
x – dua = 0 jika serta hanya apabila 3x = 6
Tiap penggantian nilai x yg menyebabkan p(x) benar akan menyebabkan kalimat q(x) juga benar. Begitu juga tiap penggantian nilai x yang menyebabkan q(x) sahih akan menyebabkan p(x) pula benar. Kalimat p(x) ⇔ q(x) yang berciri misalnya itu disebut biimplikasi logis.
Apabila p(x) ⇔ q(x) sebuah akibat logis, dikatakan p(x) serta q(x) adalah dua kalimat yang ekuivalen, ditulis sebagai berikut.
p(x) ≡ q(x)
dibaca: p(x) ekuivalen q(x)
Jadi, 2 kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelasaian yg sama. Berikut ini merupakan beberapa model biimplikasi logis.
a) 2log x = 3 apabila serta hanya apabila x = 23
b) x + dua = 0 jika serta hanya jika 2x + 3 = x + 1
c) ∆ABC siku-siku bila dan hanya bila ∆ABC memiliki sebuah sudut siku-siku.
Catatan:
Biimplikasi pada contoh c) di atas dapat jua dibaca menjadi berikut.
□ Jika ∆ABC siku-siku, maka ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku dan jika ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku, maka ∆ABC siku-siku.
□∆ABC siku-siku merupakan syarat perlu serta cukup bagi ∆ABC memiliki sebuah sudut siku-siku.
□∆ABC memiliki sebuah sudut siku-siku merupakan kondisi perlu serta relatif bagi ∆ABC siku-siku.
