Biimplikasi Pengertian Tabel Kebenaran Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru

Pernyataan p serta pernyataan q bisa dirangkai dengan memakai kata hubung “jika dan hanya apabila” sehingga diperoleh pernyataan baru yg berbentuk “p apabila dan hanya bila q”. Pernyataan yg dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi “p apabila dan hanya apabila q” dapat ditulis dengan lambang berikut.

p ⇔ q

(dibaca: p bila dan hanya apabila q)

Dalam beberapa penerapan, p ⇔ q bisa jua dibaca menjadi berikut.

(i) apabila p maka q dan bila q maka p.

(ii) p kondisi perlu dan cukup bagi q.

(iii) q kondisi perlu dan relatif bagi p

Nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi menjadi berikut.

p ⇔ q dinyatakan benar, bila τ(p) = τ(q) (dibaca: p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama).

p ⇔ q dinyatakan salah , apabila τ(p) ≠ τ(q) (dibaca: p dan q memiliki nilai kebenaran yg tidak sama).

Berdasarkan definisi tadi, tabel kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut adalah.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔q

p

q

p ⇔ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Sekarang, supaya kalian lebih paham mengenai konsep biimplikasi dalam akal matematika, silahkan kalian simak beberapa model soal dan pembahasannya ini dia.

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut adalah.

a) (16)1/dua = 4 bila serta hanya apabila 16log 4 = ½

b) x2– 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika serta hanya bila x2– 4x = 0 tidak mempunyai akar real.

Jawab:

a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:

● p: (16)1/dua = 4 bernilai benar (B)

● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)

Karena p serta q bernilai benar, maka p ⇔ q benar.

b) Misalkan p: x2– 4x + 3 = 0 mempunyai akar real serta q: x2– 4x = 0 tidak mempunyai akar real, maka:

●p: x2– 4x + tiga = 0 mempunyai akar real bernilai sahih (B)

●q: x2– 4x = 0 tidak mempunyai akar real bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah , maka p ⇔ q galat.

Seperti halnya pada disjungsi, konjungsi, serta implikasi, pada biimplikasi jua acapkali dijumpai kalimat yg berbentuk “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔q(x)”, menggunakan p(x) serta q(x) adalah kalimat-kalimat terbuka, p serta q merupakan pernyataan-pernyataan.

Kalimat terbuka “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔ q(x)” dapat diubah sebagai biimplikasi yg bernilai sahih/salah dengan cara memilih nilai-nilai x dalam kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah model soal berikut.

Contoh Soal dua:

Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai sahih.

3x – 4 = 2x + dua jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap.

Jawab:

Kalimat “3x – 4 = 2x + dua bila serta hanya apabila 6 adalah sapta genap” bisa dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” dengan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 6 adalah sapta genap adalah suatu pernyataan.

Agar kalimat “3x – 4 = 2x + dua bila serta hanya apabila 6 merupakan bilangan genap” sebagai implikasi yg bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yg benar, karena pernyataan q telah jelas bernilai sahih (perhatikan tabel nilai kebenaran biimplikasi pada atas).

Nilai x yang mengakibatkan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + 2 sebagai pernyataan yg sahih adalah himpunan penyelesaian menurut kalimat terbuka itu, yaitu buat x = 6. Jadi, kalimat “3x – 4 = 2x + dua apabila dan hanya apabila 6 adalah bilangan genap” sebagai biimplikasi yang bernilai benar buat x = 6.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi berikut adalah.

a) 0 termasuk sapta cacah apabila serta hanya apabila 0 merupakan sapta asli.

b) 2m–n = 2m– 2n jika dan hanya jika 25–2 = 23.

Jawab:

a) Misalkan p: 0 termasuk bilangan cacah serta q: 0 adalah bilangan orisinil, maka:

●p: 0 termasuk sapta cacah bernilai sahih (B)

●q: 0 adalah bilangan asli bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah , maka p ⇔ q galat.

b) Misalkan p: 2m–n = 2m– 2n serta q: 25–dua = 23, maka:

●p: 2m–n = 2m– 2n bernilai galat (S)

●q: q: 25–dua = 23 bernilai sahih (B)

Karena p bernilai galat serta q bernilai benar, maka p ⇔ q keliru.

Contoh Soal 4:

Diketahui p merupakan pernyataan yang bernilai keliru serta q adalah pernyataan yang bernilai sahih, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.

a) p ⇔ q

b) p ⇔ ~q

c) ~p ⇔ q

d) ~p ⇔ ~q

e) ~(p ⇔ ~q)

f) ~(~p ⇔ q)

Jawab:

Untuk mempermudah memilih nilai kebenaran menurut pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut adalah.

p

q

~p

~q

p ⇔ q

p ⇔ ~q

~p ⇔ q

~p ⇔ ~q

~(p ⇔ ~q)

~(~p ⇔ q)

S

B

B

S

S

B

B

S

S

S

Contoh Soal 5:

Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai sahih.

a) 2x + 1 = tiga bila dan hanya apabila tiga adalah bilangan komposit.

b) x2– 1 ≤ jika dan hanya apabila 2log 4 + 2log 2 = tiga.

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 serta sebuah pernyataan q: 3 merupakan bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q merupakan sebagai berikut.

q: tiga merupakan sapta komposit bernilai keliru. Hal ini dikarenakan tiga merupakan sapta prima sehingga tidak termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit merupakan sapta asli lebih dari 1 yang bukan sapta prima. Contoh bilangan komposit merupakan 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.

Dengan demikian, pernyataan q bernilai keliru (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai salah . Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan menjadi berikut.

2x + 1 = 3

2x = tiga – 1

2x = 2

x = 1

Karena p(x) wajib bernilai galat, maka x harus bernilai selain 1. Jadi, agar kalimat “2x + 1 = 3 apabila serta hanya jika tiga adalah sapta komposit” menjadi biimplikasi yang sahih, maka x ∈ R, x ≠1.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2– 1 ≤ 0 dan sebuah pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = tiga. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.

2log 4 + 2log dua = 2log 22 + 2log 21

= 2 + 1

= 3

Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q sebagai biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) wajib menjadi pernyataan yg bernilai sahih. Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan sebaga berikut.

x2– 1 ≤ 0 maka HP = x -1 ≤ x ≤ 1, x ∈ R

Jadi, supaya kalimat “x2– 1 ≤ bila serta hanya jika 2log 4 + 2log 2 = tiga” sebagai biimplikasi yg benar, maka rentang nilai x yang memenuhi merupakan -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.

Contoh Soal 6:

Carilah nilai x agar kalimat berikut ini sebagai biimplikasi yang bernilai keliru.

4x – dua = 10 bila dan hanya bila log 4 + log 1 = log 5

Jawab:

Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – dua = 10 serta sebuah pernyataan q: log 4 + log 1 = log lima. Nilai kebenaran pernyataan q merupakan menjadi berikut.

log 4 + log 1 = log (4 × 1)

= log 4

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang keliru, maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yg bernilai sahih. Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan sebaga berikut.

4x – dua = 10

4x = 10 + 2

4x = 12

x = 3

Jadi, agar kalimat “4x – dua = 10 bila dan hanya bila log 4 + log 1 = log 5” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.