Hubungan Biimplikasi dan 2 Himpunan yang Sama Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Kalian sudah mengenal kalimat beragam akibat. Dari tabel nilai kebenaran akibat itu, coba kalian perhatikan tabel nilai kebenaran berikut adalah.
p
q
p ⇒ q
q ⇒ p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
Dari tabel pada atas, nilai kebenaran berdasarkan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) merupakan nilai kebenaran biimplikasi. Biimpilkasi merupakan 2 kalimat pernyataan yg menggunakan kata hubung “apabila dan hanya jika” serta dilambangkan menggunakan “⇔”. Oleh karenanya, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q. Tanda “≡” adalah pertanda ekuivalen.
Jadi, bisa kita simpulkan bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk biimplikasi ditunjukkan seperti pada tabel berikut adalah.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi
p
q
p ⇔ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan biimplikasi 2 pernyataan berikut.
p: 3 × 2 = 6 (benar)
q: 6 mempunyai faktor 1, 2, 3, 4, 6 (galat)
Jawab:
p ⇔ q: tiga × dua = 6 apabila serta hanya bila 6 mempunyai faktor 1, dua, tiga, 4, 6. (keliru)
Contoh Soal dua:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan biimplikasi 2 pernyataan berikut.
p: Persegi memiliki lima simetri lipat. (salah )
q: Persegi mempunyai 2 simetri putar. (galat)
Jawab:
p ⇔ q: Persegi memiliki lima simetri lipat bila dan hanya jika memiliki 2 simetri putar. (sahih)
Contoh Soal tiga:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi ini dia.
a) log 25 – log 4 = 21 bila serta hanya apabila log 25 + log 4 = dua.
b) a = b jika dan hanya bila a + c = b + c, buat a, b, c ∈ R.
Jawab:
a) Misalkan p: log 25 – log 4 = log 21 dan q: log 25 + log 4 = dua. Kita tentukan nilai kebenaran pernyataan p dan q sebagai berikut.
Nilai kebenaran p:
log 25 – log 4 = log (25/4)
log 25 – log 4 = log 6,25
jadi nilai kebenaran pernyataan p merupakan salah (S).
Nilai kebenaran p:
log 25 + log 4 = log (25 × 4)
log 25 + log 4 = log 100
log 25 + log 4 = log 102
log 25 + log 4 = 2
jadi nilai kebenaran pernyataan q merupakan benar (B).
karena p bernilai keliru sedangkan q bernilai benar, maka p ⇔ q galat.
b) Misalkan p: a = b serta q: a + c = b + c. Dengan menggunakan persamaan dalam pernyataan p, kita uji nilai kebenaran pernyataan q, yaitu menjadi berikut.
a + c = b + c
b + c = b + c
Jadi, pernyataan q sahih, sedangkan pernyataan p telah pasti benar (saling mempengaruhi) menggunakan demikian, p ⇔ q benar.
Contoh Soal 4:
Carilah nilai x agar kalimat berikut adalah menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
√9 adalah bilangan irasional bila dan hanya bila x > 2
Jawab:
Terdapat pernyataan p: √9 adalah bilangan irasional dan kalimat terbuka q(x): x > dua. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
√9 = ±tiga (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan p bernilai galat. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) wajib menjadi pernyataan yg bernilai galat, sehingga nilai x yg memenuhi merupakan x ≤ 2, x ∈R.
Contoh Soal 5:
Carilah nilai x supaya kalimat berikut sebagai biimplikasi yang bernilai keliru.
Log 9 = dua log 3 jika dan hanya apabila x ≥ 5.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: log 9 = 2 log tiga dan kalimat terbuka q(x): x ≥ lima. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan sebagai berikut.
Log 9 = log 32
Log 9 = dua log 3
Jadi, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇔ q galat, maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai salah sehingga nilai x yg memenuhi merupakan x < 5, x ∈ R.
Hubungan antara Implikasi dengan Himpunan Bagian
Jika P serta Q masing-masing adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) dalam semesta pembiacaraan S, maka p(x)⇔ q(x) menjadi biimplikasi p ⇔ q yang bernilai benar jika P = Q.
Atau dalam bentuk lambang himpunan bisa dituliskan menjadi berikut.
P = x p(x), p sahih jika x ∈ P
Q = x q(x), Q benar jika x ∈ Q
Biimplikasi p ⇔ q benar, jika P = Q
Hubungan tadi dapat digambarkan menggunakan diagram Venn misalnya yg ditunjukkan pada gambar berikut adalah.
Contoh Soal 6:
Di antara pernyataan biimplikasi berikut adalah, manakah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran sahih (B)?
a) x = 16 bila serta hanya jika 2log x = 4
b) x – 6 > 0 apabila dan hanya apabila x2– 7x + 6 > 0.
c) Dua butir garis sejajar jika dan hanya jika garis itu sebidang.
Jawab:
Suatu pernyataan biimplikasi yg terdiri dari dua kalimat terbuka p(x) serta q(x) akan bernilai sahih apabila himpunan penyelesaian dari ke 2 kalimat terbuka tersebut sama.
a) p(x): x = 16 serta q(x): 2log x = 4. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini merupakan sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P serta q(x): Q maka:
□ x = 16, P = 16
□2log x = 4
2log 24 = 4, Q = 24 = 16
Karena P = Q, maka kalimat “x = 16 jika serta hanya apabila 2log x = 4” merupakan biimplikasi yg sahih.
b) p(x): x – 6 > 0 serta q(x): x2– 7x + 6 > 0. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini merupakan menjadi berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P serta q(x): Q maka:
□x – 6 > 0
x > 6, P = x x > 6, x ∈ R.
□x2– 7x + 6 > 0
(x – 6)(x – 1) > 0, Q = x x < 1 atau x > 6, x ∈ R
Karena P = Q, maka kalimat “p(x): x – 6 > 0 serta q(x): x2– 7x + 6 > 0” merupakan biimplikasi yang benar.
c) Dua garis sejajar sudah pasti sebidang. Tapi 2 garis sebidang, belum tentu sejajar (mampu saja berhimpit). Jadi, kalimat “Dua butir garis sejajar bila dan hanya bila garis itu sebidang” merupakan biimplikasi yg sahih.
