Hubungan Implikasi dan Himpunan Bagian Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Implikasi adalah kalimat beragam menggunakan pertanda hubung “jika … maka …” serta ditulis “⇒”. Untuk memilih nilai tabel kebenarannya, perhatikan gambaran berikut. Misalkan bila Lia lulus ujian maka beliau akan menaruh uang pada adiknya.
Misalnya:
p: Lia lulus ujian.
q: Lia memberikan uang pada adiknya.
sekarang kita tentukan negasi menurut p serta q sebagai berikut.
~p: Lia nir lulus ujian.
~q: Lia tidak memberikan uang kepada adiknya.
Dari pernyataan pada atas, kita dapat membuat hubungan implikasi menjadi berikut.
1. Jika Lia lulus ujian maka dia akan memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai sahih karena Lia menepati janji)
2. Apabila Lia lulus ujian maka beliau nir memberikan uang pada adiknya.
(kalimat ini keliru lantaran Lia tidak menepati janji)
3. Jika Lia tidak lulus ujian maka beliau memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai sahih karena meskipun janjinya gugur dia permanen memberikan uang kepada adiknya)
4. Jika Lia tidak lulus ujian maka dia nir memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai sahih lantaran Lia bebas berdasarkan janjinya)
Dari gambaran pada atas, kita bisa menyusun nilai tabel kebenaran akibat sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi
p
q
p ⇒ q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan implikasi 2 pernyataan berikut.
p: Pak Rudi adalah manusia. (sahih)
q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)
Jawab:
p ⇒ q: apabila Pak Rudi adalah insan, maka kelak akan mati. (benar)
Contoh Soal 2:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan implikasi 2 pernyataan berikut.
p: 2 + 5 = 7 (sahih)
q: 7 bukan bilangan prima (salah )
Jawab:
p ⇒ q: apabila 2 + 5 = 7, maka 7 bukan sapta prima (salah ).
Contoh Soal 3:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini sebagai akibat yg bernilai benar.
a) Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2
b) apabila 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8
Penyelesaian:
a) terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): x < dua dan pernyataan q: 2log 4 = 1/2. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
2log 4 = 2log 22 = 2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai keliru (S). Agar p ⇒ q sebagai akibat yang benar maka kalimat terbuka p(x) wajib bernilai salah . Nilai x yang memenuhi merupakan menjadi berikut.
x < 2, maka x wajib lebih akbar berdasarkan atau sama dengan dua buat x ∈ R.
Jadi, agar kalimat “apabila x < dua maka 2log 4 = 1/dua” sebagai implikasi yg benar, maka nilai x ≥ dua, buat x ∈ R.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: 31/dua = √3 dan kalimat terbuka q(x): 1 – 2x = x – 8. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan menjadi berikut.
31/2 = 2√31 atau hanya ditulis sebagai √3
Dengan demikian, pernyataan p bernilai sahih (B). Agar p ⇒ q menjadi akibat yg sahih maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai benar, sebagai akibatnya nilai x yg memnuhi merupakan menjadi berikut.
1 – 2x = x – 8
x + 2x = 1 + 8
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Jadi, supaya kalimat “Jika 31/2 = √tiga maka 1 – 2x = x – 8” sebagai implikasi yang benar, maka nilai x yg memenuhi adalah tiga.
Contoh Soal 4:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yg bernilai galat.
a) Jika x2– 1 = 0 maka sin2 45o = 1.
b) apabila √2 + √8 = tiga√dua maka x – dua ≠ 1.
Penyelesaian:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2– 1 = 0 serta pernyataan q: sin2 45o = 1. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan menjadi berikut.
sin2 45o = (sin 45)2
sin2 45o = (1/2√dua)2
sin2 45o = 1/4(dua)
sin2 45o = 2/4
sin2 45o = 1/2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai keliru (S). Agar p ⇒ q sebagai akibat yg bernilai galat, maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yg bernilai benar, sebagai akibatnya nilai x yang memenuhi merupakan sebagai berikut.
x2– 1 = 0
(x – 1)(x + 1) = 0
x = 1 atau x = -1
Jadi, supaya kalimat “Jika x2– 1 = 0 maka sin2 45o = 1” sebagai akibat yg salah , maka nilai x adalah 1 atau -1.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: √dua + √8 = tiga√2 dan kalimat terbuka q(x): x – 2 ≠ 1. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan sebagai berikut.
√dua + √8 = √2 + √(4 × dua)
√dua + √8 = √2 + √4 × √2
√2 + √8 = √2 + 2 × √2
√dua + √8 = √dua + dua√2
√dua + √8 = tiga√2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yang bernilai salah , maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai salah , sebagai akibatnya nilai x yg memenuhi merupakan sebagai berikut.
x – 2 = 1
x = 1 + 2
x = 3
jika nilai x = 3, maka kalimat terbuka x – 2 ≠ 1 akan sebagai pernyataan yg bernilai keliru (S).
Jadi, agar kalimat “Jika √dua + √8 = tiga√2 maka x – 2 ≠ 1” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x adalah 3.
Hubungan antara Implikasi menggunakan Himpunan Bagian
Jika P serta Q masing-masing adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p ⇒ q sahih bila P ⊂ Q.
Atau pada bentuk lambang himpunan bisa dituliskan menjadi berikut.
P = x p(x), p sahih jika x ∈ P
Q = x q(x), Q benar jika x ∈ Q
Implikasi p ⇒ q sahih, jika P ⊂ Q
Hubungan tersebut bisa digambarkan menggunakan diagram Venn misalnya yg ditunjukkan dalam gambar berikut adalah.
Contoh Soal 5:
Dalam semesta pembicaraan S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.
a) apabila 1 ≤ x ≤ dua maka x2– 5x + 4 ≤ 0
b) apabila x2– 5x + 4 ≤ 0 maka 1 ≤ x ≤ 2
Jawab:
Misalkan:
P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x): 1 ≤ x ≤ dua pada semesta pembicaraan S, maka P = 1, dua.
Q merupakan himpunan penyelesaian kalimat terbuka q(x): x2– 5x + 4 ≤ 0 pada semesta pembicaraan S, maka Q = 1, dua, tiga, 4.
Hubungan antara P serta Q diperlihatkan dengan diagram Venn pada gambar pada bawah ini.
Dari gambar pada atas, tampak bahwa P ⊂ Q namun Q ⊂ P. Dengan demikian:
a) p(x) ⇒ q(x) bernilai benar, atau bila 1 ≤ x ≤ 2 maka x2– 5x + 4 ≤ 0, adalah akibat yang sahih.
b) q(x) ⇒ p(x) bernilai galat, atau bila x2– 5x + 4 ≤ 0 maka 1 ≤ x ≤ dua, merupakan implikasi yang salah .
