Implikasi Pengertian Tabel Kebenaran Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional merupakan pernyataan majemuk yg disusun dari 2 butir pernyataan p dan q pada bentuk jika p maka q. Bagian “bila p” dinamakan alasan atau karena dan bagian “maka q” dinamakan konklusi. Implikasi “bila p maka q” bisa ditulis dengan lambang sebagai berikut.
p ⇒ q
(dibaca: apabila p maka q)
Dalam banyak sekali penerapan, akibat p ⇒ q bisa dibaca:
(i) p hanya bila q
(ii) q apabila p
(iii) p kondisi cukup bagi q
(iv) q kondisi perlu bagi p
Nilai kebenaran implikasi p ⇒ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.
p ⇒ q dinyatakan galat, bila p benar dan q salah .
Dalam kemungkinan yang lainnya p ⇒ q dinyatakan benar.
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p ⇒ q bisa ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒q
p
q
p ⇒ q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Sekarang, supaya kalian lebih paham tentang konsep implikasi pada nalar matematika, silahkan kalian simak beberapa contoh soal serta pembahasannya ini dia.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap akibat berikut ini.
a) apabila 3 + 2 = 5, maka 5 merupakan bilangan prima.
b) Jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya merupakan ibukota Jawa Timur.
c) apabila Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.
d) Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 105 = 108.
Jawab:
a) Misalkan p: tiga + 2 = lima serta q: 5 merupakan bilangan prima, maka:
● p: tiga + 2 = 5 bernilai sahih (B)
● q: lima adalah bilangan prima bernilai sahih (B)
Karena p dan q bernilai sahih, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: 9 merupakan bilangan genap dan q: Surabaya merupakan ibukota Jawa Timur, maka:
●p: 9 merupakan bilangan genap bernilai salah (S)
●q: Surabaya merupakan ibukota Jawa Timur bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q sahih.
c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah dan q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:
●p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)
●q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai galat, maka p ⇒ q keliru.
d) Misalkan p: log 3 + log lima = log 8 serta q: 103 + 105 = 108, maka:
p: log 3 + log 5 = log 8 bernilai galat (S)
q: 103 + 105 = 108 bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai galat, maka p ⇒ q sahih.
Sekarang mari kita uraikan kembali penyelesaian menurut model soal pada atas.
Implikasi p ⇒ q dibaca apabila p maka q dengan tiap bagian mengandung pengertian sebagai berikut.
■apabila p: menyatakan alasan
■Maka q: menyatakan kesimpulan
Dari penyelesaian contoh soal 1, kita peroleh data sebagai berikut.
a) alasan sahih, konklusi benar, maka implikasi bernilai sahih.
b) alasan keliru, konklusi sahih, maka akibat bernilai benar.
c) alasan benar, kesimpulan galat, maka akibat bernilai keliru.
d) alasan salah , konklusi keliru, maka akibat bernilai sahih.
Dari contoh-model tadi, maka tabel nilai kebenaran akibat dapat pula kita nyatakan pada bentuk ini dia.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒q
p (alasan)
q (kesimpulan)
p ⇒ q (akibat)
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Seperti halnya pada disjungsi dan konjungsi, pada akibat juga dijumpai kalimat yg berbentuk “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, dengan p(x) serta q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka, p serta q merupakan pernyataan-pernyataan.
Kalimat-kalimat “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, bisa diubah sebagai akibat yang sahih/galat dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah model soal ini dia.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang sahih.
Jika x – tiga = 4 maka 4 adalah sapta prima.
Jawab:
Kalimat “apabila x – tiga = 4 maka 4 adalah sapta prima” bisa dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” menggunakan p(x): x – tiga = 4 adalah suatu kalimat terbuka dan q: 4 adalah bilangan prima adalah suatu pernyataan.
Agar kalimat “Jika x – tiga = 4 maka 4 merupakan sapta prima” menjadi implikasi yg bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 harus diubah sebagai pernyataan yang galat, karena pernyataan q telah kentara bernilai keliru (perhatikan tabel nilai kebenaran akibat).
Nilai x yg mengakibatkan kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 menjadi pernyataan yg galat dipengaruhi sebagai berikut.
x – tiga = 4
x = 4 + 3
x = 7
Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 bernilai salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x ≠ 7.
Jadi, kalimat “Jika x – tiga = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.
Contoh Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.
a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = 5.
b) Jika tiga faktor berdasarkan 6 maka 6 habis dibagi 2.
c) apabila log 10 = 1 maka log 20 = 2
d) Jika lima merupakan sapta genap maka 5 + 1 merupakan sapta ganjil .
e) Jika x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.
Jawab:
a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 serta q: 2log 32 = lima, maka:
●p: 22 × 23 = 25 bernilai sahih (B)
●q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai sahih, maka p ⇒ q benar.
b) Misalkan p: tiga faktor dari 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:
●p: 3 faktor dari 6 bernilai sahih (B)
●q: 6 habis dibagi dua bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai sahih, maka p ⇒ q benar.
c) Misalkan p: log 10 = 1 serta q: log 20 = dua, maka
●p: log 10 = 1 bernilai benar (B)
●q: log 20 = 2 bernilai galat (S)
Karena p bernilai benar sementara q bernilai salah , maka p ⇒ q keliru.
d) Misalkan p: lima merupakan bilangan genap dan q: 5 + 1 merupakan sapta gasal, maka:
●p: lima merupakan bilangan genap bernilai galat (S)
●q: lima + 1 adalah sapta ganjil bernilai salah (S)
Karena p dan q bernilai galat, maka p ⇒ q sahih.
e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
●p: x2 < 0 bernilai keliru (S)
●q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q sahih.
Contoh Soal 4:
Misalkan p merupakan pernyataan yang bernilai benar dan q merupakan pernyataan yang bernilai keliru, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut ini.
a) p ⇒ q
b) p ⇒ ~q
c) ~p ⇒ q
d) ~p ⇒ ~q
e) ~(p ⇒ ~q)
f) ~(~p ⇒ q)
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran menurut pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat dalam bentuk tabel ini dia.
p
q
~p
~q
p ⇒ q
p ⇒ ~q
~p ⇒ q
~p ⇒ ~q
~(p ⇒ ~q)
~(~p ⇒ q)
B
S
S
B
S
B
B
B
S
S
Contoh Soal lima:
Carilah nilai-nilai x supaya setiap kalimat berikut adalah sebagai akibat yang bernilai sahih.
a) apabila 1 – 3x = 4 maka dua merupakan bilangan komposit.
b) apabila x2≠ 4 maka √4 = ±dua.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 dan sebuah pernyataan q: 2 adalah sapta komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 2 adalah bilangan komposit bernilai salah . Hal ini dikarenakan dua bukan termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit merupakan sapta orisinil lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh sapta komposit merupakan 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yang sahih, maka kalimat terbuka p(x) wajib bernilai keliru. Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan sebagai berikut.
1 – 3x = 4
-3x = 4 – 1
-3x = 3
x = tiga/(-tiga)
x = -1
karena p(x) harus bernilai keliru, maka x wajib bernilai selain sapta -1. Jadi, supaya kalimat “apabila 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit” menjadi akibat yg sahih, maka nilai x ≠ -1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2≠ 4 serta sebuah pernyataan q: √4 = ±2. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sahih (B). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar atau galat. Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan menjadi berikut.
x2≠ 4
x ≠√4
x ≠ ±2
■Agar p(x): x2≠ 4 bernilai benar, maka nilai x ≠ ±dua.
■Agar p(x): x2≠ 4 bernilai salah , maka nilai x = ±2.
Apabila x ≠ ±dua dan x = ±dua digabungkan maka himpunan solusinya akan sebagai x ∈ R.
Jadi, agar kalimat “Jika x2≠ 4 maka √4 = ±2” menjadi implikasi yg sahih, maka nilai x yg memenuhi merupakan x ∈ R.
Contoh Soal 6:
Carilah nilai-nilai x supaya setiap kalimat berikut menjadi implikasi yg keliru.
a) apabila lima – 2x = 1, maka √9 merupakan bilangan irasional.
b) Jika 4x – lima = 2x + 1, maka log lima + log 6 = log 11.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan sebuah pernyataan q: √9 merupakan sapta irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
√9 = ±tiga (sapta rasional)
Dengan demikian, pernyataan q bernilai galat (S). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yg galat, maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.
5 – 2x = 1
2x = lima – 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Jadi, agar kalimat “apabila 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional” menjadi akibat yg keliru, maka nilai x yang memenuhi adalah x = dua.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – lima = 2x + 1 serta sebuah pernyataan q: log 5 + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
log 5 + log 6 = log (lima × 6)
log lima + log 6 = log 30
Dengan demikian, pernyataan q bernilai galat (S). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yg galat, maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.
4x – 5 = 2x + 1
4x – 2x = 1 + 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Jadi, supaya kalimat “Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log lima + log 6 = log 11” menjadi implikasi yg keliru, maka nilai x yang memenuhi merupakan x = 3.
