Kumpulan Contoh Soal Biimplikasi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya Terbaru
Apa itu Biimplikasi?
Biimplikasi atau implikasi dwiarah merupakan 2 pernyataan atau kalimat terbuka yg dihubungkan menggunakan kata hubung “… apabila dan hanya jika …” serta dilambangkan dengan simbol “⇔”. Misalkan terdapat dua butir pernyataan p serta q menjadi berikut.
p: Lisa memberikan uang pada adiknya.
q: Lisa lulus ujian.
Maka kalimat implikasi dari dua pernyataan tadi adalah menjadi berikut.
p ⇔ q: Lisa akan menaruh uang kepada adiknya bila dan hanya apabila ia lulus ujian.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p
q
p ⇔ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan nilai kebenaran menurut biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: 3 × dua = 6 (sahih)
q: 6 memiliki faktor 1, 2, 3, 4, 6 (salah )
Jawab:
p ⇔ q: tiga × 2 = 6 apabila serta hanya bila 6 mempunyai faktor 1, dua, 3, 4, 6. (keliru)
2. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan biimplikasi 2 pernyataan berikut.
p: Persegi memiliki lima simetri lipat. (keliru)
q: Persegi memiliki 2 simetri putar. (sala)
Jawab:
p ⇔ q: Persegi mempunyai lima simetri lipat apabila dan hanya jika mempunyai dua simetri putar. (sahih)
3. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) (16)1/dua = 4 bila serta hanya jika 16log 4 = ½
b) x2– 4x + 3 = 0 memiliki akar real apabila serta hanya bila x2– 4x = 0 nir mempunyai akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:
● p: (16)1/dua = 4 bernilai benar (B)
● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)
Karena p serta q bernilai sahih, maka p ⇔ q benar.
b) Misalkan p: x2– 4x + 3 = 0 memiliki akar real dan q: x2– 4x = 0 tidak mempunyai akar real, maka:
●p: x2– 4x + tiga = 0 mempunyai akar real bernilai sahih (B)
●q: x2– 4x = 0 nir mempunyai akar real bernilai galat (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai keliru, maka p ⇔ q keliru.
4. Carilah nilai-nilai x supaya kalimat berikut menjadi biimplikasi yg bernilai benar.
3x – 4 = 2x + 2 apabila serta hanya jika 6 merupakan sapta genap.
Jawab:
Kalimat “3x – 4 = 2x + 2 apabila dan hanya apabila 6 merupakan sapta genap” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” menggunakan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 6 merupakan sapta genap merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika serta hanya apabila 6 merupakan sapta genap” menjadi implikasi yg bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yang sahih, sebab pernyataan q telah kentara bernilai sahih (perhatikan tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas).
Nilai x yg mengakibatkan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + dua sebagai pernyataan yg benar merupakan himpunan penyelesaian berdasarkan kalimat terbuka itu, yaitu buat x = 6. Jadi, kalimat “3x – 4 = 2x + dua bila serta hanya jika 6 adalah sapta genap” sebagai biimplikasi yg bernilai sahih buat x = 6.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi ini dia.
a) 0 termasuk sapta cacah jika dan hanya jika 0 adalah sapta orisinil.
b) 2m–n = 2m– 2n bila serta hanya apabila 25–2 = 23.
Jawab:
a) Misalkan p: 0 termasuk sapta cacah serta q: 0 merupakan sapta asli, maka:
●p: 0 termasuk sapta cacah bernilai sahih (B)
●q: 0 merupakan bilangan asli bernilai keliru (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai keliru, maka p ⇔ q keliru.
b) Misalkan p: 2m–n = 2m– 2n dan q: 25–dua = 23, maka:
●p: 2m–n = 2m– 2n bernilai keliru (S)
●q: q: 25–2 = 23 bernilai benar (B)
Karena p bernilai galat dan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah .
6. Diketahui p merupakan pernyataan yg bernilai keliru serta q merupakan pernyataan yg bernilai benar, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) p ⇔ q
b) p ⇔ ~q
c) ~p ⇔ q
d) ~p ⇔ ~q
e) ~(p ⇔ ~q)
f) ~(~p ⇔ q)
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran menurut pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat pada bentuk tabel berikut ini.
p
q
~p
~q
p ⇔ q
p ⇔ ~q
~p ⇔ q
~p ⇔ ~q
~(p ⇔ ~q)
~(~p ⇔ q)
S
B
B
S
S
B
B
S
S
S
7. Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yg bernilai benar.
a) 2x + 1 = tiga apabila serta hanya jika 3 adalah sapta komposit.
b) x2– 1 ≤ apabila dan hanya jika 2log 4 + 2log 2 = tiga.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 dan sebuah pernyataan q: 3 adalah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 3 adalah sapta komposit bernilai galat. Hal ini dikarenakan tiga merupakan bilangan prima sebagai akibatnya tidak termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit merupakan bilangan asli lebih berdasarkan 1 yg bukan sapta prima. Contoh sapta komposit merupakan 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) wajib sebagai pernyataan yg bernilai keliru. Sehingga nilai x yg memenuhi merupakan menjadi berikut.
2x + 1 = 3
2x = tiga – 1
2x = 2
x = 1
Karena p(x) wajib bernilai galat, maka x wajib bernilai selain 1. Jadi, supaya kalimat “2x + 1 = 3 jika dan hanya apabila 3 adalah bilangan komposit” menjadi biimplikasi yang sahih, maka x ∈ R, x ≠1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2– 1 ≤ 0 dan sebuah pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = tiga. Nilai kebenaran pernyataan q merupakan sebagai berikut.
2log 4 + 2log dua = 2log 22 + 2log 21
= 2 + 1
= 3
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q sebagai biimplikasi yang sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai sahih. Sehingga nilai x yang memenuhi merupakan sebaga berikut.
x2– 1 ≤ 0 maka HP = x -1 ≤ x ≤ 1, x ∈ R
Jadi, supaya kalimat “x2– 1 ≤ jika serta hanya apabila 2log 4 + 2log 2 = 3” menjadi biimplikasi yg benar, maka rentang nilai x yang memenuhi merupakan -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.
8. Carilah nilai x supaya kalimat berikut ini sebagai biimplikasi yg bernilai galat.
4x – dua = 10 apabila serta hanya bila log 4 + log 1 = log 5
Jawab:
Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – dua = 10 serta sebuah pernyataan q: log 4 + log 1 = log 5. Nilai kebenaran pernyataan q merupakan menjadi berikut.
log 4 + log 1 = log (4 × 1)
= log 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai keliru (S). Agar p ⇔ q sebagai biimplikasi yang galat, maka kalimat terbuka p(x) wajib menjadi pernyataan yang bernilai sahih. Sehingga nilai x yg memenuhi adalah sebaga berikut.
4x – dua = 10
4x = 10 + 2
4x = 12
x = 3
Jadi, agar kalimat “4x – dua = 10 apabila serta hanya bila log 4 + log 1 = log 5” menjadi bimplikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.
9. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi ini dia.
a) log 25 – log 4 = 21 apabila serta hanya bila log 25 + log 4 = dua.
b) a = b apabila serta hanya jika a + c = b + c, buat a, b, c ∈ R.
Jawab:
a) Misalkan p: log 25 – log 4 = log 21 dan q: log 25 + log 4 = 2. Kita tentukan nilai kebenaran pernyataan p serta q sebagai berikut.
Nilai kebenaran p:
log 25 – log 4 = log (25/4)
log 25 – log 4 = log 6,25
jadi nilai kebenaran pernyataan p adalah keliru (S).
Nilai kebenaran p:
log 25 + log 4 = log (25 × 4)
log 25 + log 4 = log 100
log 25 + log 4 = log 102
log 25 + log 4 = 2
jadi nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B).
karena p bernilai galat sedangkan q bernilai sahih, maka p ⇔ q galat.
b) Misalkan p: a = b dan q: a + c = b + c. Dengan menggunakan persamaan pada pernyataan p, kita uji nilai kebenaran pernyataan q, yaitu menjadi berikut.
a + c = b + c
b + c = b + c
Jadi, pernyataan q benar, sedangkan pernyataan p sudah niscaya benar (saling mempengaruhi) menggunakan demikian, p ⇔ q benar.
10. Carilah nilai x supaya kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
√9 merupakan sapta irasional bila serta hanya bila x > 2
Jawab:
Terdapat pernyataan p: √9 adalah sapta irasional serta kalimat terbuka q(x): x > dua. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan menjadi berikut.
√9 = ±tiga (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah . Agar p ⇔ q sahih, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai keliru, sebagai akibatnya nilai x yang memenuhi merupakan x ≤ dua, x ∈R.
11. Carilah nilai x agar kalimat berikut sebagai biimplikasi yg bernilai salah .
Log 9 = dua log 3 apabila dan hanya bila x ≥ 5.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: log 9 = dua log 3 serta kalimat terbuka q(x): x ≥ lima. Nilai kebenaran pernyataan p adalah menjadi berikut.
Log 9 = log 32
Log 9 = dua log 3
Jadi, pernyataan p bernilai sahih (B). Agar p ⇔ q galat, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yg bernilai salah sehingga nilai x yg memenuhi merupakan x < 5, x ∈ R.
12. Di antara pernyataan biimplikasi berikut adalah, manakah pernyataan yg memiliki nilai kebenaran sahih (B)?
a) x = 16 bila serta hanya apabila 2log x = 4
b) x – 6 > 0 apabila serta hanya apabila x2– 7x + 6 > 0.
c) Dua butir garis sejajar bila dan hanya apabila garis itu sebidang.
Jawab:
Suatu pernyataan biimplikasi yg terdiri dari dua kalimat terbuka p(x) dan q(x) akan bernilai benar jika himpunan penyelesaian dari kedua kalimat terbuka tadi sama.
a) p(x): x = 16 dan q(x): 2log x = 4. Himpunan penyelesaian ke 2 kalimat terbuka ini merupakan sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P serta q(x): Q maka:
□ x = 16, P = 16
□2log x = 4
2log 24 = 4, Q = 24 = 16
Karena P = Q, maka kalimat “x = 16 apabila serta hanya apabila 2log x = 4” adalah biimplikasi yang benar.
b) p(x): x – 6 > 0 serta q(x): x2– 7x + 6 > 0. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P serta q(x): Q maka:
□x – 6 > 0
x > 6, P = x x > 6, x ∈ R.
□x2– 7x + 6 > 0
(x – 6)(x – 1) > 0, Q = x x < 1 atau x > 6, x ∈ R
Karena P = Q, maka kalimat “p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2– 7x + 6 > 0” adalah biimplikasi yg sahih.
b) Dua garis sejajar sudah pasti sebidang. Tapi 2 garis sebidang, belum tentu sejajar (mampu saja berhimpit). Jadi, kalimat “Dua butir garis sejajar jika serta hanya apabila garis itu sebidang” adalah biimplikasi yg sahih.
13. Carilah nilai x supaya setiap kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai sahih.
Log 10 = 1 jika dan hanya bila x3 + 1 = 0
Jawab:
Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 serta kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 10 = 10log 101 = 1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai sahih, sebagai akibatnya nilai x yang memenuhi adalah x = -1.
14. Carilah nilai x agar kalimat berikut adalah menjadi biimplikasi yang bernilai salah .
Log 16 = (log 4)2 bila dan hanya jika x2– 16 = 0.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: Log 16 = (log 4)2 serta kalimat terbuka q: x2– 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan menjadi berikut.
Log 16 = log (4 × 4)
Log 16 = log 4 + log 4
(log 4)dua = log 4 × log 4
Jadi log 16 ≠ (log 4)2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai keliru. Agar p ⇔ q salah , maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai sahih, sebagai akibatnya nilai x yg memenuhi adalah sebagai berikut.
x2– 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x = -4 atau x = 4
Jadi, kalimat “Log 16 = (log 4)dua jika dan hanya jika x2– 16 = 0” akan menjadi biimplikasi yang salah , bila nilai x = -4 atau x = 4.
