Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLDV Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Terbaru
Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yg terdiri atas 2 persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x serta y). Dengan demikian, bentuk generik SPLDV merupakan sebagai berikut.
ax + by = c .................... Persamaan (1)
px + qy = r .................... Persamaan (2)
px + qy = r .................... Persamaan (2)
dengan a, b, c, p, q, serta r merupakan bilangan real.
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan perpaduan contoh soal serta pembahasan tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan berbagai macam metode. Silahkan disimak baik-baik.
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1. Tentukan himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan x + 2y = 2 serta 2x + 4y = 8 buat x, y ∈ R menggunakan metode grafik.
Penyelesaian
Pertama, kita tentukan titik pangkas masing-masing persamaan dalam sumbu-X dan sumbu-Y
■x + 2y = 2
Titik pangkas dengan sumbu-X, syaratnya merupakan y = 0
⇔ x + 2(0) = 2
⇔ x = 2
Titik potong (2, 0)
Titik pangkas dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔ 0 + 2y = 2
⇔ 2y = 2
⇔ y = 1
Titik potong (0, 1)
■2x + 4y = 8
Titik pangkas dengan sumbu-X, syaratnya merupakan y = 0
⇔ 2x + 4(0) = 8
⇔ 2x = 8
⇔ x = 4
Titik pangkas (4, 0)
Titik pangkas dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0
⇔ dua(0) + 4y = 8
⇔ 4y = 8
⇔ y = 2
Titik pangkas (0, dua)
Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan dalam sebuah bidang Cartesius misalnya yg ditunjukkan dalam gambar pada bawah ini.
Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa ke 2 garis tadi tidak akan pernah berpotongan lantaran keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan x + 2y = dua serta 2x + 4y = 8 merupakan himpunan kosong, ditulis atau ∅.
2. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian menurut SPLDV berikut ini.
2x – 3y = 7
3x + 2y = 4
Jawab
2x – 3y = 7 ………. Pers. (7)
3x + 2y = 4 ………. Pers. (8)
Dari persamaan (7) kita peroleh persamaan x menjadi berikut.
⇔
2x – 3y
=
7
⇔
2x
=
7 + 3y
⇔
x
=
7 + 3y
2
Subtitusikan persamaan x ke pada persamaan (8) sebagai berikut.
⇔
3
(
7 + 3y
)
+
2y
=
4
2
⇔
3(7 + 3y) + 4y
=
8 (kedua ruas dikali dua)
⇔
21 + 9y + 4y
=
8
⇔
21 + 13y
=
8
⇔
13y
=
8 – 21
⇔
13y
=
-13
⇔
y
=
-1
Untuk memilih nilai x, kita subtitusikan nilai y ke persamaan (7) atau persamaan (8) menjadi berikut.
⇔2x – tiga(-1) = 7
⇔2x + tiga = 7
⇔2x = 7 – 3
⇔2x = 4
⇔x = 2
Dengan demikian, himpunan penyelesaian menurut SPLDV tadi adalah (2, -1).
3. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian berdasarkan persamaan ini dia.
x – 2
+
y
=
3
4
x
+
y + 4
=
8
3
Jawab
Kedua bentuk SPLDV pada atas belum baku, karenanya, perlu diubah terlebih dahulu sebagai bentuk baku. Caranya merupakan persamaan pertama kita kalikan 4 dalam kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian tiga pada ke 2 ruasnya, sehingga membentuk persamaan berikut adalah.
Persamaan pertama:
x – dua + 4y = 12
x + 4y = 12 + 2
x + 4y = 14
Persamaan kedua:
3x + y + 4 = 24
3x + y = 24 – 4
3x + y = 20
Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen menggunakan SPLDV berikut adalah.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Selanjutnya, SPLDV yg terakhir ini bisa diselesaikan menggunakan memakai metode eliminasi yaitu menjadi berikut:
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan ke 2 persamaan sehingga kita peroleh nilai y menjadi berikut.
x + 4y
=
14
× 3
→
3x + 12y
=
42
3x + y
=
20
× 1
→
3x + y
=
20
−
11y
=
22
y
=
2
Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan ke 2 dengan 4 supaya koefisien y ke 2 persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sebagai akibatnya kita peroleh nilai x menjadi berikut.
x + 4y
=
14
× 1
→
x + 4y
=
14
3x + y
=
20
× 4
→
12x + 4y
=
80
−
-11x
=
-66
x
=
6
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 serta y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan pada atas merupakan (6, dua).
4. Dengan menggunakan metode adonan atau adonan, carilah himpunan penyelesaian berdasarkan persamaan berikut ini.
x – 2
+
y
=
3
4
x
+
y + 4
=
8
3
Jawab
Kedua bentuk SPLDV pada atas belum baku, karenanya, perlu diubah terlebih dahulu sebagai bentuk baku. Caranya merupakan persamaan pertama kita kalikan 4 dalam kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian tiga pada ke 2 ruasnya, sehingga membentuk persamaan berikut adalah.
Persamaan pertama:
x – dua + 4y = 12
x + 4y = 12 + 2
x + 4y = 14
Persamaan kedua:
3x + y + 4 = 24
3x + y = 24 – 4
3x + y = 20
Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen menggunakan SPLDV berikut adalah.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Selanjutnya, SPLDV yg terakhir ini bisa diselesaikan menggunakan memakai metode eliminasi yaitu menjadi berikut:
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan ke 2 persamaan sehingga kita peroleh nilai y menjadi berikut.
x + 4y
=
14
× 3
→
3x + 12y
=
42
3x + y
=
20
× 1
→
3x + y
=
20
−
11y
=
22
y
=
2
Langkah terakhir, untuk mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y = dua ke persamaan x + 4y = 14, sebagai akibatnya kita peroleh output menjadi berikut.
x + 4y = 14
x + 4(dua) = 14
x + 8 = 14
x = 14 – 8
x = 6
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 serta y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan pada atas merupakan (6, dua).
5. Tentukanlah himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan ini dia menggunakan metode determinan.
2x + y = 4
x – 2y = -3
Jawab:
Pertama, kita ubah sistem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks berikut
2
1
x
=
4
1
-2
y
-3
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx dan Dy yaitu sebagai berikut.
D
=
2
1
=
(2)(-2) – (1)(1) = -4 – 1 = -5
1
-2
Dx
=
4
1
=
(4)(-dua) – (1)(-3) = -8 – (-3) = -5
-3
-2
Dy
=
2
4
=
(dua)(-3) – (4)(1) = -6 – 4 = -10
1
-3
Ketiga, kita tentukan nilai x serta y menggunakan nilai-nilai determinan.
x = Dx/D = -lima/-lima = 1
y = Dy/D = -10/-5 = 2
Dengan demikian, himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan linear di atas adalah HP = (1, 2).
6. Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan linear dua variabel ini dia.
2x – 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B
2
−3
x
=
3
1
2
y
5
Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B
x
=
1
2
−(-tiga)
3
y
(dua)(2) – (-tiga)(1)
−1
2
5
x
=
1
2
3
3
y
4 – (-3)
−1
2
5
x
=
1
2
3
3
y
7
−1
2
5
Ketiga, selesaikan persamaan matriks di atas
x
=
1
6 + 15
y
7
−3 + 10
x
=
1
21
y
7
7
x
=
21/7
y
7/7
x
=
3
y
1
Jadi, kita peroleh nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear pada atas merupakan HP = (3, 1).
7. Carilah himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ini dia.
x + 8
+
y
=
2
2
3
x + y – 2
+
x – y + 1
=
−3
5
4
Jawab:
■Pertama, kita ubah masing-masing persamaan menjadi bentuk standar yaitu sebagai berikut
Persamaan 1
x + 8
+
y
=
2
2
3
KPK berdasarkan 2 serta 3 adalah 6, oleh karena itu, supaya menjadi bentuk standar, kita kalikan ke 2 ruas dengan angka 6 sehingga hasilnya merupakan menjadi berikut.
6(x + 8)
+
6y
=
12
2
3
3(x + 8) + 2y = 12
3x + 24 + 2y = 12
3x + 2y = 12 – 24
3x + 2y = –12
Persamaan 2
x + y – 2
+
x – y + 1
=
−3
5
4
KPK dari lima dan 4 adalah 20, sang karena itu, supaya menjadi bentuk standar, kita kalikan ke 2 ruas dengan nomor 20 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.
20(x + y – 2)
+
20(x – y + 1)
=
−60
5
4
4(x + y – 2) + lima(x – y + 1) = −60
4x + 4y – 8 + 5x – 5y + 5 = −60
9x – y – tiga = −60
9x – y = −60 + 3
9x – y = −57
Dengan demikian, bentuk baku dari sistem persamaan linear 2 variabel bentuk pecahan pada atas merupakan sebagai berikut
3x + 2y = –12
9x – y = −57
■Kedua, sesudah bentuk baku diperoleh, selanjutnya menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut menggunakan salah satu metode penyelesaian SPLDV. Agar lebih cepat dan simpel, kita gunakan metode campuran saja yaitu sebagai berikut.
#1 Metode Eliminasi
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan angka tiga agar koefisien x ke 2 persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.
3x + 2y
=
–12
× 3
→
9x + 6y
=
–36
9x – y
=
–57
× 1
→
9x – y
=
–57
−
7y
=
21
y
=
3
#dua Metode Subtitusi
Setalah nilai y kita peroleh, selanjutnya buat mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y tadi ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 9x –y = −57, sebagai akibatnya kita peroleh output sebagai berikut.
9x – y = −57
9x – tiga = −57
9x = −57 + 3
9x = −54
x = −57/9
x = −6
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = −6 serta y = tiga sehingga himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan pada atas merupakan (−6, 3).
