Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLTV Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Terbaru
Sistem persamaan linear 3 variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yg terdiri atas 3 persamaan linear yg masing-masing persamaan bervariabel tiga (misalkan x, y, dan z). Dengan demikian dapat kita tuliskan bentuk generik menurut SPLTV merupakan menjadi berikut.
ax + by + cz = d ………….. Persamaan (1)
ex + fy + gz = h ….……….. Persamaan (2)
ix + jy + kz = l …………….. Persamaan (tiga)
Dengan:
a, e, i = koefisien x
b, f, j = koefisien y
c, g, k = koefisien i
d, h, l = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan formasi contoh soal dan pembahasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan memakai banyak sekali macam metode. Silahkan disimak baik-baik.
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear tiga Variabel (SPLTV)
1. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.
x + y – z = –3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4
Jawab:
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yg paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang terdapat, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y serta z sebagai berikut.
⇒ x + y – z = –3
⇒ x = –tiga – y + z
■Subtitusikan peubah x ke pada persamaan kedua
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7
⇒–3 + y + 2z = 7
⇒ y + 2z = 7 + 3
⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)
■Subtitusikan variabel x ke pada persamaan ketiga
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4
⇒–6 – 2y + 2z + y + z = 4
⇒–y + 3z = 4 + 6
⇒–y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)
■Persamaan (3) serta (4) menciptakan SPLDV y serta z:
y + 2z = 10
–y + 3z = 10
■Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yg paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y = 10 – 2z
■Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua
⇒–y + 3z = 10
⇒–(10 – 2z) + 3z = 10
⇒–10 + 2z + 3z = 10
⇒–10 + 5z = 10
⇒ 5z = 10 + 10
⇒ 5z = 20
⇒ z = 4
■Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y + 2(4) = 10
⇒ y + 8 = 10
⇒ y = 10 – 8
⇒ y = 2
■Selanjutnya, subtitusikan nilai y = dua serta z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sebagai akibatnya kita peroleh
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ x + dua(dua) + 4 = 7
⇒ x + 4 + 4 = 7
⇒ x + 8 = 7
⇒ x = 7 – 8
⇒ x = –1
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = dua serta z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian menurut SPLTV pada atas merupakan (–1, dua, 4).
Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yg diperoleh telah sahih, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke pada 3 SPLTV pada atas.
■Persamaan pertama
⇒ x + y – z = –3
⇒–1 + dua – 4 = –3
⇒–34 = –3 (benar)
■Persamaan kedua
⇒ x + 2y + z = 7
⇒–1 + 2(2) + 4 = 7
⇒–1 + 4 + 4 = 7
⇒ 7 = 7 (benar)
■Persamaan ketiga
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(–1) + 2 + 4 = 4
⇒–dua + dua + 4 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
Berdasarkan verifikasi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh telah sahih dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.
2. Dengan memakai metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yg paling sederhana merupakan x sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita wajib samakan koefisien masing-masing x berdasarkan ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1
2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2
x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1
Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama serta persamaan ketiga menggunakan 2 sedangkan persamaan ke 2 kita kalikan 1. Prosesnya merupakan menjadi berikut.
x + 3y + 2z
=
16
× 2
→
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y – 2z
=
12
× 1
→
2x + 4y – 2z
=
12
x + y + 4z
=
20
× 2
→
2x + 2y + 8z
=
40
Setelah koefisien x ketiga persamaan telah sama, maka pribadi saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua serta persamaan ke 2 dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
■Dari persamaan pertama serta ke 2:
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y – 2z
=
12
−
2y + 6z
=
20
■Dari persamaan kedua serta ketiga:
2x + 4y – 2z
=
12
2x + 2y + 8z
=
40
−
2y – 10z
=
–28
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
2y + 6z = 20
2y – 10z = –28
Langkah selanjutnya merupakan kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita wajib menyamakan koefisien z menurut ke 2 persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
2y + 6z = 20 → koefisien z = 6
2y – 10z = –28 → koefisien z = –10
Agar ke 2 koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali menggunakan lima sedangkan persamaan ke 2 kita kali menggunakan 3. Setelah itu, ke 2 persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah menjadi berikut.
2y + 6z
=
20
× 5
→
10y + 30z
=
100
2y – 10z
=
–28
× 3
→
6y – 30z
=
–84
+
16y
=
16
y
=
1
Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y berdasarkan kedua persamaan. Berhubung koefisien y ke 2 persamaan telah sama, maka kita sanggup pribadi mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
2y + 6z
=
20
2y – 10z
=
–28
−
16z
=
48
z
=
3
Sampai dalam termin ini kita telah memperoleh nilai y = 1 dan z = tiga. Langkah terakhir, buat menerima nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, contohnya persamaan x + y + 4z = 20 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(3) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sebagai akibatnya himpunan penyelesaian SPLTV pada atas merupakan (7, 1, tiga).
3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel pada bawah ini dengan menggunakan metode adonan.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8
Jawab:
■Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yg akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yg paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yg paling sederhana adalah y sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = dua → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1
Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama serta persamaan ketiga menggunakan dua sedangkan persamaan ke 2 kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x – y + 2z
=
4
× 2
→
2x – 2y + 4z
=
8
2x + 2y – z
=
2
× 1
→
2x + 2y – z
=
2
3x + y + 2z
=
8
× 2
→
6x + 2y + 4z
=
16
Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan ke 2 serta persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel y hilang. Prosesnya misalnya pada bawah ini.
●Dari persamaan pertama serta kedua:
2x – 2y + 4z
=
8
2x + 2y – z
=
2
+
4x + 3z
=
10
●Dari persamaan ke 2 dan ketiga:
2x + 2y – z
=
2
6x + 2y + 4z
=
16
−
−4x − 5z
=
−14
4x + 5z
=
14
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14
■Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua menjadi berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2
Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam galat satu SPLDV, contohnya persamaan 4x + 3z sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ 4x + 3(dua) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1
Langkah terakhir, buat menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam keliru satu SPLTV pada atas, contohnya persamaan x – y + 2z = 4 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + dua(dua) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ lima – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 serta z = dua sebagai akibatnya himpunan penyelesaian SPLTV pada atas adalah (1, 1, dua).
4. Dengan memakai metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.
2
1
1
x
=
12
1
2
−1
y
3
3
−1
1
z
11
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti dalam langkah-langkah pada atas.
■Menentukan nilai D
D
=
2
1
1
2
1
1
2
−1
1
2
3
−1
1
3
−1
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■Menentukan nilai Dx
Dx
=
12
1
1
12
1
3
2
−1
3
2
11
−1
1
11
−1
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■Menentukan nilai Dy
Dy
=
2
12
1
2
12
1
3
−1
1
3
3
11
1
3
11
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■Menentukan nilai Dz
Dz
=
2
1
12
2
1
1
2
3
1
2
3
−1
11
3
−1
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, serta Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.
x
=
Dx
=
−27
=
3
D
−9
y
=
Dy
=
−18
=
2
D
−9
z
=
Dz
=
−36
=
4
D
−9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah HP = (3, 2, 4).
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berbentuk pecahan berikut ini.
1
+
2
+
4
=
1
x
y
z
−1
+
4
+
12
=
0
x
y
z
2
+
8
+
4
=
−1
x
y
z
Penyelesaian:
Misalkan:
1
=
p
;
1
=
q
;
1
=
r
x
y
z
Dengan menggunakan permisalan ini, maka bentuk SPLTV pecahan di atas menjadi misalnya berikut.
■Persamaan pertama:
⇒ 1(1/x) + dua(1/y) + 4(1/z) = 1
⇒ p + 2q + 4r = 1
■Persamaan ke 2:
⇒−1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0
⇒−p + 4q + 12r = 0
■Persamaan ketiga:
⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1
⇒ 2p + 8q + 4r = −1
Dengan demikian, kita sudah memperoleh SPLTV bentuk standar dengan variabel p, q, serta r yaitu menjadi berikut.
p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)
−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)
2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)
Langkah selanjutnya adalah memilih himpunan penyelesaian SPLTV tadi dengan memakai keliru satu menurut lima metode penyelesaian yang sudah disebutkan pada atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sebagai akibatnya penyelesaiannya merupakan sebagai berikut.
#1 Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi p dulu.
Untuk menghilangkan peubah p, maka kita wajib menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.
p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1
−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1
2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2
Agar ketiga koefisien q sama (biarkan pertanda), maka kita kalikan persamaan pertama serta kedua menggunakan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sebagai akibatnya hasilnya adalah menjadi berikut.
p + 2q + 4r
=
1
× 2
→
2p + 4q + 8r
=
2
−p + 4q + 12r
=
0
× 2
→
−2p + 8q + 24r
=
0
2p + 8q + 4r
=
−1
× 1
→
2p + 8q + 4r
=
−1
Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka eksklusif saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan ke 2 serta persamaan ke 2 dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.
●Dari persamaan pertama serta kedua:
2p + 4q + 8r
=
2
−2p + 8q + 24r
=
0
+
12q + 32r
=
2
●Dari persamaan ke 2 dan ketiga:
−2p + 8q + 24r
=
0
2p + 8q + 4r
=
−1
+
16q + 28r
=
−1
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
12q + 32r = 2
16q + 28r = −1
#2 Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p menjadi berikut.
⇒ 12q + 32r = 2
⇒ 12q = dua – 32r
Kemudian, agar persamaan q pada atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV sebagai bentuk misalnya berkut.
⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]
⇒4/tiga(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]
Kemudian tambahkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tadi.
⇒4/tiga(12q) + 28r = −1
⇒4/3(dua – 32r) + 28r = −1
⇒8/3–128r/3 + 28r = −1
Kalikan kedua ruas dengan angka 3
⇒ 8 − 128r + 84r = −3
⇒−128r + 84r = −tiga – 8
⇒−44r = −11
⇒ r = −11/−44
⇒ r = 1/4
Kemudian buat memilih nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4 ke pada salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = dua sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ 12q + 32r = 2
⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2
⇒ 12q + 8 = 2
⇒ 12q = dua – 8
⇒ 12q = –6
⇒ q = –6/12
⇒ q = –1/2
Setelah nilai q serta r diperoleh, langkah selanjutnya merupakan memilih nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4 ke salah satu SPLTV di atas, contohnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ p + 2q + 4r = 1
⇒ p + dua(–1/2) + 4(seperempat ) = 1
⇒ p + dua(–1/2) + 4(seperempat ) = 1
⇒ p – 1 + 1 = 1
⇒ p + 0 = 1
⇒ p = 1
Sampai disini kita sudah berhasil menerima nilai p = 1, q = –1/2 serta r = 1/4 . Langkah terakhir adalah memilih nilai x, y, dan z menggunakan memakai permisalan sebelumnya, yaitu menjadi berikut.
1/x
=
p
1/y
=
q
1/z
=
r
1/x
=
1
1/y
=
–1/2
1/z
=
1/4
x
=
1
y
=
–2
z
=
4
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −dua, serta z = 4 sebagai akibatnya himpunan penyelesaian SPLTV tersebut merupakan (1, −2, 4).
