Kumpulan Contoh Soal Disjungsi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya Terbaru

Apa Itu Disjungsi?

Disjungsi merupakan kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan istilah hubung “atau” dan dilambangkan menggunakan simbol “∨”. Misalkan masih ada 2 buah pernyataan p serta q sebagai berikut.

p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan

q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 pada adiknya

Maka kalimat disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah menjadi berikut.

p ∨ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya.

Tabel Kebenaran Disjungsi

p

q

p ∨ q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Keterangan:

B = benar

S = salah

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Diberikan 2 pernyataan berikut adalah.

p: 4 + 9 = 13 (sahih)

q: 6 merupakan bilangan prima (benar)

Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 merupakan bilangan prima (sahih).

2. Tentukan nilai kebenaran menurut disjungsi dua pernyataan berikut.

p: Salah satu faktor menurut 12 merupakan 5. (keliru)

q: 14 habis dibagi dengan dua. (benar)

Jawab:

p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (sahih)

3. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan setiap disjungsi ini dia.

a) tiga × 5 = 15 atau 15 adalah sapta ganjil .

b) 3 × lima = 15 atau 15 merupakan bilangan genap.

c) tiga × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap.

d) 3 × 5 = 8 atau 8 merupakan bilangan gasal.

Jawab:

a) Misalkan p: tiga × 5 = 15  serta q: 15 merupakan bilangan ganjil maka:

● p: tiga × lima = 15 bernilai sahih (B)

●q: 15 adalah sapta ganjil bernilai sahih (B)

karena p serta q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.

b) Misalkan p: 3 × lima = 15  dan q: 15 merupakan sapta genap maka:

●p: 3 × 5 = 15 bernilai sahih (B)

●q: 15 adalah sapta genap bernilai keliru (S)

karena p bernilai benar dan q bernilai keliru, maka p ∨ q sahih.

c) Misalkan p: 3 × 5 = 8  serta q: 8 merupakan bilangan genap maka:

●p: tiga × 5 = 8 bernilai galat (S)

●q: 8 adalah sapta genap bernilai benar (B)

karena p bernilai galat dan q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.

d) Misalkan p: tiga × lima = 8  serta q: 8 adalah sapta ganjil maka:

●p: tiga × 5 = 8 bernilai galat (S)

●q: 8 merupakan bilangan ganjik bernilai keliru (S)

karena p dan q bernilai galat, maka p ∨ q keliru.

4. Carilah nilai-nilai x supaya kalimat berikut sebagai disjungsi yg sahih.

5 – 2x = x – 1 atau 9 merupakan sapta prima.

Jawab:

“lima – 2x = x – 1 atau 9 merupakan bilangan prima” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 dan pernyataan q: 9 merupakan bilangan prima. Agar kalimat itu sebagai disjungsi yg benar, maka kalimat terbuka p(x): lima – 2x = x – 1 harus bernilai sahih karena pernyataan q sudah kentara bernilai galat (perhatikan tabel nilai kebenaran disjungsi pada atas). Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): lima – 2x = x – 1 menjadi pernyataan yg sahih merupakan penyelesaian berdasarkan kalimat terbuka itu, yaitu:

⇒ 5 – 2x = x – 1

⇒ x + 2x = lima + 1

⇒ 3x = 6

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “lima – 2x = x – 1 atau 9 merupakan bilangan prima” sebagai disjungsi yg sahih buat nilai x = 2.

5. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan tiap disjungsi berikut adalah.

a) tiga adalah sapta prima atau 3 merupakan sapta ganjil .

b) 3 + 4 ≤ 12 atau tiga + 4 merupakan sebuah sapta genap.

c) x2≥ 0 atau x2 + 1 > 0.

d) x ≥ 0 atau √x2 = x

Jawab:

a) Misalkan p: 3 merupakan sapta prima serta q: tiga merupakan bilangan ganjil , maka:

● p: tiga adalah bilangan prima bernilai benar (B).

●q: tiga adalah bilangan ganjil bernilai benar (B).

karena p serta q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.

b) Misalkan p: 3 + 4 ≤ 12 dan q: 3 + 4 merupakan sebuah sapta genap, maka:

●p: 3 + 4 ≤ 12 bernilai sahih (B).

●q: 3 + 4 merupakan sebuah sapta genap bernilai keliru (S).

karena p bernilai benar dan q bernilai keliru, maka p ∨ q sahih.

c) Misalkan p: x2≥ 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:

●p: x2≥ 0 bernilai benar (B).

●q: x2 + 1 > 0 bernilai sahih (B).

Karena p dan q bernilai sahih, maka p ∨ q sahih.

d) Misalkan p: x ≥ 0 serta q: √x2 = x, maka:

●p: x ≥ 0 bernilai benar (B).

●q: √x2 = x bernilai galat (S), mengapa? Perhatikan penjelasan berikut.

⇒√x2 = x

⇒ x≠ x

karena p bernilai benar dan s bernilai salah , maka p ∨ q sahih.

6. Misalkan p merupakan pernyataan yg benar serta q adalah pernyataan yang salah . Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.

a) ~p

b) ~q

c) p ∨ q

d) p ∨ ~q

e) ~p ∨ q

f) ~p ∨ ~q

Jawab:

Untuk mempermudah memilih nilai kebenaran menurut pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat pada bentuk tabel berikut adalah.

p

q

~p

~q

p ∨ q

p ∨ ~q

~p ∨ q

~p ∨ ~q

B

S

S

B

B

B

S

B

7. Diketahui pernyataan-pernyataan:

p: tiga merupakan sapta prima dan

q: 3 merupakan sapta ganjil

Carilah rumus-rumus simbolis buat setiap disjungsi berikut.

a) tiga bukan sapta prima atau tiga adalah bilangan ganjil .

b) tiga adalah bilangan prima atau tiga bukan bilangan gasal.

c) tiga bukan sapta prima atau 3 bukan bilangan gasal.

d) 3 adalah sapta prima atau tiga merupakan bilangan prima.

e) tiga bukan bilangan gasal atau 3 merupakan sapta prima.

f) 3 bukan bilangan ganjil atau tiga bukan sapta prima.

Jawab:

Terdapat dua pernyataan yaitu:

p: tiga merupakan sapta prima dan

q: 3 merupakan sapta ganjil

Ingkaran atau negasi dua pernyataan tadi merupakan:

~p: 3 bukan bilangan prima dan

~q: tiga bukan sapta ganjil

Maka rumus simbolis menurut disjungsi berikut ini adalah:

a) tiga bukan sapta prima atau tiga adalah bilangan ganjil .

~p ∨ q

b) tiga adalah bilangan prima atau tiga bukan bilangan gasal.

p ∨ ~q

c) tiga bukan sapta prima atau 3 bukan bilangan gasal.

~p ∨ ~q

d) 3 adalah sapta prima atau tiga merupakan bilangan prima.

p ∨ p

e) tiga bukan bilangan gasal atau 3 merupakan sapta prima.

~q ∨ p

f) 3 bukan bilangan ganjil atau tiga bukan sapta prima.

~q ∨ ~p

8. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut sebagai disjungsi yang benar.

a) x – 3 = lima – 3x atau 99 merupakan bilangan prima.

b) x2– 16 = 0 atau tiga + 3 < tiga + 1.

Jawab:

a) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai galat, yaitu:

kalimat terbuka:

p(x): x – 3 = lima – 3x

pernyataan:

q: 99 adalah bilangan prima (keliru)

agar p ∨ q bernilai sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yg memenuhi supaya p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah menjadi berikut.

⇒ x – tiga = lima – 3x

⇒ x + 3x = 5 + 3

⇒ 4x = 8

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “x – 3 = lima – 3x atau 99 merupakan sapta prima” sebagai disjungsi yg benar buat nilai x = dua.

b) Terdapat satu kalimat terbuka serta satu pernyataan yg bernilai salah , yaitu:

kalimat terbuka:

p(x): x2– 16 = 0

pernyataan:

q: tiga + 3 < 3 + 1 (galat)

agar p ∨ q bernilai sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yg memenuhi supaya p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah menjadi berikut.

⇒ x2– 16 = 0

⇒ (x – 4)(x + 4) = 0

⇒ x = 4 atau x = -4

Jadi, kalimat “x2– 16 = 0 atau 3 + tiga < tiga + 1” menjadi disjungsi yang sahih buat nilai x = 4 atau x = -4.

9. Diketahui p(x): 2x2– 7x + tiga = 0 serta q(x): x2– 2x – 3 = 0, dengan x adalah peubah pada himpunan sapta real R. Apabila p serta q adalah pernyataan yg terbentuk menurut p(x) serta q(x) dengan mengganti nilai x ∈ R, carilah nilai x sebagai akibatnya (p ∨ q) bernilai benar.

Jawab:

Himpunan penyelesaian p(x): 2x2– 7x + 3 = 0 adalah P = 1/dua, tiga

Himpunan penyelesaian q(x): x2– 2x – tiga = 0 adalah Q = -1, tiga

P ∪ Q = -1, 1/dua, 3

(p ∨ q) bernilai sahih, bila x ∈ (P ∪ Q), berarti x = -1, x = 1/2, x = 3.