Kumpulan Contoh Soal Disjungsi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya Terbaru
Apa Itu Disjungsi?
Disjungsi merupakan kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan istilah hubung “atau” dan dilambangkan menggunakan simbol “∨”. Misalkan masih ada 2 buah pernyataan p serta q sebagai berikut.
p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 pada adiknya
Maka kalimat disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah menjadi berikut.
p ∨ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p
q
p ∨ q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Diberikan 2 pernyataan berikut adalah.
p: 4 + 9 = 13 (sahih)
q: 6 merupakan bilangan prima (benar)
Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.
Jawab:
p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 merupakan bilangan prima (sahih).
2. Tentukan nilai kebenaran menurut disjungsi dua pernyataan berikut.
p: Salah satu faktor menurut 12 merupakan 5. (keliru)
q: 14 habis dibagi dengan dua. (benar)
Jawab:
p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (sahih)
3. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan setiap disjungsi ini dia.
a) tiga × 5 = 15 atau 15 adalah sapta ganjil .
b) 3 × lima = 15 atau 15 merupakan bilangan genap.
c) tiga × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap.
d) 3 × 5 = 8 atau 8 merupakan bilangan gasal.
Jawab:
a) Misalkan p: tiga × 5 = 15 serta q: 15 merupakan bilangan ganjil maka:
● p: tiga × lima = 15 bernilai sahih (B)
●q: 15 adalah sapta ganjil bernilai sahih (B)
karena p serta q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.
b) Misalkan p: 3 × lima = 15 dan q: 15 merupakan sapta genap maka:
●p: 3 × 5 = 15 bernilai sahih (B)
●q: 15 adalah sapta genap bernilai keliru (S)
karena p bernilai benar dan q bernilai keliru, maka p ∨ q sahih.
c) Misalkan p: 3 × 5 = 8 serta q: 8 merupakan bilangan genap maka:
●p: tiga × 5 = 8 bernilai galat (S)
●q: 8 adalah sapta genap bernilai benar (B)
karena p bernilai galat dan q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.
d) Misalkan p: tiga × lima = 8 serta q: 8 adalah sapta ganjil maka:
●p: tiga × 5 = 8 bernilai galat (S)
●q: 8 merupakan bilangan ganjik bernilai keliru (S)
karena p dan q bernilai galat, maka p ∨ q keliru.
4. Carilah nilai-nilai x supaya kalimat berikut sebagai disjungsi yg sahih.
5 – 2x = x – 1 atau 9 merupakan sapta prima.
Jawab:
“lima – 2x = x – 1 atau 9 merupakan bilangan prima” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 dan pernyataan q: 9 merupakan bilangan prima. Agar kalimat itu sebagai disjungsi yg benar, maka kalimat terbuka p(x): lima – 2x = x – 1 harus bernilai sahih karena pernyataan q sudah kentara bernilai galat (perhatikan tabel nilai kebenaran disjungsi pada atas). Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): lima – 2x = x – 1 menjadi pernyataan yg sahih merupakan penyelesaian berdasarkan kalimat terbuka itu, yaitu:
⇒ 5 – 2x = x – 1
⇒ x + 2x = lima + 1
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “lima – 2x = x – 1 atau 9 merupakan bilangan prima” sebagai disjungsi yg sahih buat nilai x = 2.
5. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan tiap disjungsi berikut adalah.
a) tiga adalah sapta prima atau 3 merupakan sapta ganjil .
b) 3 + 4 ≤ 12 atau tiga + 4 merupakan sebuah sapta genap.
c) x2≥ 0 atau x2 + 1 > 0.
d) x ≥ 0 atau √x2 = x
Jawab:
a) Misalkan p: 3 merupakan sapta prima serta q: tiga merupakan bilangan ganjil , maka:
● p: tiga adalah bilangan prima bernilai benar (B).
●q: tiga adalah bilangan ganjil bernilai benar (B).
karena p serta q bernilai sahih, maka p ∨ q benar.
b) Misalkan p: 3 + 4 ≤ 12 dan q: 3 + 4 merupakan sebuah sapta genap, maka:
●p: 3 + 4 ≤ 12 bernilai sahih (B).
●q: 3 + 4 merupakan sebuah sapta genap bernilai keliru (S).
karena p bernilai benar dan q bernilai keliru, maka p ∨ q sahih.
c) Misalkan p: x2≥ 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
●p: x2≥ 0 bernilai benar (B).
●q: x2 + 1 > 0 bernilai sahih (B).
Karena p dan q bernilai sahih, maka p ∨ q sahih.
d) Misalkan p: x ≥ 0 serta q: √x2 = x, maka:
●p: x ≥ 0 bernilai benar (B).
●q: √x2 = x bernilai galat (S), mengapa? Perhatikan penjelasan berikut.
⇒√x2 = x
⇒ x≠ x
karena p bernilai benar dan s bernilai salah , maka p ∨ q sahih.
6. Misalkan p merupakan pernyataan yg benar serta q adalah pernyataan yang salah . Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) ~p
b) ~q
c) p ∨ q
d) p ∨ ~q
e) ~p ∨ q
f) ~p ∨ ~q
Jawab:
Untuk mempermudah memilih nilai kebenaran menurut pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat pada bentuk tabel berikut adalah.
p
q
~p
~q
p ∨ q
p ∨ ~q
~p ∨ q
~p ∨ ~q
B
S
S
B
B
B
S
B
7. Diketahui pernyataan-pernyataan:
p: tiga merupakan sapta prima dan
q: 3 merupakan sapta ganjil
Carilah rumus-rumus simbolis buat setiap disjungsi berikut.
a) tiga bukan sapta prima atau tiga adalah bilangan ganjil .
b) tiga adalah bilangan prima atau tiga bukan bilangan gasal.
c) tiga bukan sapta prima atau 3 bukan bilangan gasal.
d) 3 adalah sapta prima atau tiga merupakan bilangan prima.
e) tiga bukan bilangan gasal atau 3 merupakan sapta prima.
f) 3 bukan bilangan ganjil atau tiga bukan sapta prima.
Jawab:
Terdapat dua pernyataan yaitu:
p: tiga merupakan sapta prima dan
q: 3 merupakan sapta ganjil
Ingkaran atau negasi dua pernyataan tadi merupakan:
~p: 3 bukan bilangan prima dan
~q: tiga bukan sapta ganjil
Maka rumus simbolis menurut disjungsi berikut ini adalah:
a) tiga bukan sapta prima atau tiga adalah bilangan ganjil .
~p ∨ q
b) tiga adalah bilangan prima atau tiga bukan bilangan gasal.
p ∨ ~q
c) tiga bukan sapta prima atau 3 bukan bilangan gasal.
~p ∨ ~q
d) 3 adalah sapta prima atau tiga merupakan bilangan prima.
p ∨ p
e) tiga bukan bilangan gasal atau 3 merupakan sapta prima.
~q ∨ p
f) 3 bukan bilangan ganjil atau tiga bukan sapta prima.
~q ∨ ~p
8. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut sebagai disjungsi yang benar.
a) x – 3 = lima – 3x atau 99 merupakan bilangan prima.
b) x2– 16 = 0 atau tiga + 3 < tiga + 1.
Jawab:
a) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai galat, yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x – 3 = lima – 3x
pernyataan:
q: 99 adalah bilangan prima (keliru)
agar p ∨ q bernilai sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yg memenuhi supaya p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah menjadi berikut.
⇒ x – tiga = lima – 3x
⇒ x + 3x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “x – 3 = lima – 3x atau 99 merupakan sapta prima” sebagai disjungsi yg benar buat nilai x = dua.
b) Terdapat satu kalimat terbuka serta satu pernyataan yg bernilai salah , yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x2– 16 = 0
pernyataan:
q: tiga + 3 < 3 + 1 (galat)
agar p ∨ q bernilai sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yg memenuhi supaya p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah menjadi berikut.
⇒ x2– 16 = 0
⇒ (x – 4)(x + 4) = 0
⇒ x = 4 atau x = -4
Jadi, kalimat “x2– 16 = 0 atau 3 + tiga < tiga + 1” menjadi disjungsi yang sahih buat nilai x = 4 atau x = -4.
9. Diketahui p(x): 2x2– 7x + tiga = 0 serta q(x): x2– 2x – 3 = 0, dengan x adalah peubah pada himpunan sapta real R. Apabila p serta q adalah pernyataan yg terbentuk menurut p(x) serta q(x) dengan mengganti nilai x ∈ R, carilah nilai x sebagai akibatnya (p ∨ q) bernilai benar.
Jawab:
Himpunan penyelesaian p(x): 2x2– 7x + 3 = 0 adalah P = 1/dua, tiga
Himpunan penyelesaian q(x): x2– 2x – tiga = 0 adalah Q = -1, tiga
P ∪ Q = -1, 1/dua, 3
(p ∨ q) bernilai sahih, bila x ∈ (P ∪ Q), berarti x = -1, x = 1/2, x = 3.
