Kumpulan Contoh Soal Implikasi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya Terbaru
Apa itu Implikasi?
Implikasi merupakan 2 pernyataan atau kalimat terbuka yg dihubungkan menggunakan istilah hubung “jika … maka …” dan dilambangkan dengan simbol “⇒”. Misalkan terdapat 2 butir pernyataan p dan q sebagai berikut.
p: Lisa lulus ujian.
q: Lisa memberikan uang kepada adiknya.
Maka kalimat akibat menurut dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ⇒ q: Jika Lisa lulus ujian maka dia akan memberikan uang kepada adiknya.
Tabel Kebenaran Implikasi
p
q
p ⇒ q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
S
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan akibat 2 pernyataan berikut.
p: Pak Rudi merupakan manusia. (sahih)
q: Pak Rudi kelak akan tewas. (benar)
Jawab:
p ⇒ q: apabila Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan tewas. (benar)
2. Tentukan nilai kebenaran dari akibat 2 pernyataan berikut.
p: dua + lima = 7 (sahih)
q: 7 bukan bilangan prima (galat)
Jawab:
p ⇒ q: apabila dua + lima = 7, maka 7 bukan sapta prima (salah ).
3. Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.
a) apabila tiga + dua = 5, maka lima adalah sapta prima.
b) apabila 9 merupakan bilangan genap, maka Surabaya adalah ibukota Jawa Timur.
c) apabila Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.
d) apabila log 3 + log lima = log 8, maka 103 + 105 = 108.
Jawab:
a) Misalkan p: 3 + 2 = 5 dan q: lima merupakan sapta prima, maka:
● p: 3 + dua = 5 bernilai benar (B)
● q: 5 merupakan sapta prima bernilai sahih (B)
Karena p serta q bernilai sahih, maka p ⇒ q sahih.
b) Misalkan p: 9 adalah sapta genap dan q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur, maka:
●p: 9 merupakan bilangan genap bernilai salah (S)
●q: Surabaya merupakan ibukota Jawa Timur bernilai sahih (B)
Karena p bernilai galat ad interim q bernilai sahih, maka p ⇒ q sahih.
c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah serta q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:
●p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)
●q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai keliru (S)
Karena p bernilai sahih sedangkan q bernilai salah , maka p ⇒ q keliru.
d) Misalkan p: log 3 + log 5 = log 8 serta q: 103 + 105 = 108, maka:
p: log tiga + log 5 = log 8 bernilai keliru (S)
q: 103 + 105 = 108 bernilai galat (S)
Karena p serta q bernilai galat, maka p ⇒ q sahih.
4. Carilah nilai x agar kalimat berikut sebagai akibat yang sahih.
Jika x – tiga = 4 maka 4 merupakan bilangan prima.
Jawab:
Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 merupakan bilangan prima” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” dengan p(x): x – 3 = 4 adalah suatu kalimat terbuka dan q: 4 merupakan sapta prima merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 merupakan sapta prima” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 wajib diubah menjadi pernyataan yg salah , karena pernyataan q sudah jelas bernilai salah (perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi).
Nilai x yg menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 sebagai pernyataan yang keliru ditentukan menjadi berikut.
x – 3 = 4
x = 4 + 3
x = 7
Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – tiga = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai keliru, maka nilai x yang memenuhi adalah x ≠ 7.
Jadi, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 merupakan sapta prima” sebagai implikasi yang bernilai benar buat x ≠ 7.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap akibat berikut.
a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = lima.
b) apabila tiga faktor dari 6 maka 6 habis dibagi dua.
c) apabila log 10 = 1 maka log 20 = 2
d) Jika lima merupakan sapta genap maka lima + 1 adalah bilangan ganjil .
e) apabila x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.
Jawab:
a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 serta q: 2log 32 = lima, maka:
●p: 22 × 23 = 25 bernilai benar (B)
●q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)
Karena p serta q bernilai sahih, maka p ⇒ q sahih.
b) Misalkan p: tiga faktor berdasarkan 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:
●p: tiga faktor dari 6 bernilai sahih (B)
●q: 6 habis dibagi 2 bernilai benar (B)
Karena p serta q bernilai sahih, maka p ⇒ q sahih.
c) Misalkan p: log 10 = 1 serta q: log 20 = 2, maka
●p: log 10 = 1 bernilai benar (B)
●q: log 20 = dua bernilai salah (S)
Karena p bernilai sahih sementara q bernilai galat, maka p ⇒ q keliru.
d) Misalkan p: lima merupakan bilangan genap serta q: lima + 1 merupakan sapta ganjil , maka:
●p: 5 merupakan bilangan genap bernilai salah (S)
●q: lima + 1 adalah bilangan ganjil bernilai keliru (S)
Karena p serta q bernilai galat, maka p ⇒ q sahih.
e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
●p: x2 < 0 bernilai keliru (S)
●q: x2 + 1 > 0 bernilai sahih (B)
Karena p bernilai galat ad interim q bernilai sahih, maka p ⇒ q sahih.
6. Misalkan p adalah pernyataan yg bernilai sahih serta q merupakan pernyataan yg bernilai galat, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut adalah.
a) p ⇒ q
b) p ⇒ ~q
c) ~p ⇒ q
d) ~p ⇒ ~q
e) ~(p ⇒ ~q)
f) ~(~p ⇒ q)
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat pada bentuk tabel berikut adalah.
p
q
~p
~q
p ⇒ q
p ⇒ ~q
~p ⇒ q
~p ⇒ ~q
~(p ⇒ ~q)
~(~p ⇒ q)
B
S
S
B
S
B
B
B
S
S
7. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut adalah menjadi akibat yang bernilai benar.
a) apabila 1 – 3x = 4 maka dua merupakan sapta komposit.
b) apabila x2≠ 4 maka √4 = ±dua.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 serta sebuah pernyataan q: 2 adalah sapta komposit. Nilai kebenaran pernyataan q merupakan menjadi berikut.
q: dua adalah sapta komposit bernilai galat. Hal ini dikarenakan 2 bukan termasuk sapta komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan sapta prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, serta seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai keliru (S). Agar p ⇒ q sebagai akibat yg sahih, maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai keliru. Sehingga nilai x yg memenuhi adalah menjadi berikut.
1 – 3x = 4
-3x = 4 – 1
-3x = 3
x = 3/(-3)
x = -1
karena p(x) wajib bernilai salah , maka x wajib bernilai selain sapta -1. Jadi, supaya kalimat “Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah sapta komposit” menjadi implikasi yg benar, maka nilai x ≠ -1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2≠ 4 dan sebuah pernyataan q: √4 = ±dua. Nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B). Agar p ⇒ q menjadi akibat yg benar maka kalimat terbuka p(x) harus sebagai pernyataan yang bernilai benar atau galat. Sehingga nilai x yg memenuhi merupakan sebagai berikut.
x2≠ 4
x ≠√4
x ≠ ±2
■Agar p(x): x2≠ 4 bernilai sahih, maka nilai x ≠ ±dua.
■Agar p(x): x2≠ 4 bernilai salah , maka nilai x = ±dua.
Apabila x ≠ ±dua serta x = ±2 digabungkan maka himpunan penyelesaiannya akan menjadi x ∈ R.
Jadi, supaya kalimat “apabila x2≠ 4 maka √4 = ±dua” menjadi implikasi yg sahih, maka nilai x yg memenuhi adalah x ∈ R.
8. Carilah nilai-nilai x supaya setiap kalimat berikut menjadi implikasi yg galat.
a) apabila lima – 2x = 1, maka √9 adalah sapta irasional.
b) Jika 4x – lima = 2x + 1, maka log lima + log 6 = log 11.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan sebuah pernyataan q: √9 merupakan bilangan irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
√9 = ±tiga (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi akibat yg galat, maka kalimat terbuka p(x) wajib sebagai pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.
5 – 2x = 1
2x = lima – 1
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Jadi, supaya kalimat “Jika lima – 2x = 1, maka √9 merupakan sapta irasional” menjadi akibat yang galat, maka nilai x yg memenuhi adalah x = 2.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 5 = 2x + 1 serta sebuah pernyataan q: log lima + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan menjadi berikut.
log lima + log 6 = log (5 × 6)
log 5 + log 6 = log 30
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi akibat yg galat, maka kalimat terbuka p(x) wajib sebagai pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.
4x – 5 = 2x + 1
4x – 2x = 1 + 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Jadi, agar kalimat “apabila 4x – 5 = 2x + 1, maka log lima + log 6 = log 11” sebagai akibat yg salah , maka nilai x yg memenuhi adalah x = 3.
9. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini sebagai implikasi yg bernilai benar.
a) Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2
b) apabila 31/2 = √tiga maka 1 – 2x = x – 8
Penyelesaian:
a) terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): x < dua serta pernyataan q: 2log 4 = 1/2. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan menjadi berikut.
2log 4 = 2log 22 = 2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q sebagai akibat yg sahih maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai galat. Nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.
x < dua, maka x wajib lebih besar menurut atau sama dengan dua buat x ∈ R.
Jadi, agar kalimat “Jika x < dua maka 2log 4 = 1/2” menjadi akibat yang sahih, maka nilai x ≥ dua, buat x ∈ R.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: 31/2 = √3 dan kalimat terbuka q(x): 1 – 2x = x – 8. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan menjadi berikut.
31/2 = dua√31 atau hanya ditulis sebagai √3
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi akibat yang benar maka kalimat terbuka q(x) wajib sebagai pernyataan yang bernilai sahih, sebagai akibatnya nilai x yg memnuhi adalah sebagai berikut.
1 – 2x = x – 8
x + 2x = 1 + 8
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Jadi, supaya kalimat “apabila 31/2 = √tiga maka 1 – 2x = x – 8” menjadi implikasi yang sahih, maka nilai x yang memenuhi merupakan 3.
10. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat ini dia sebagai implikasi yang bernilai galat.
a) apabila x2– 1 = 0 maka sin2 45o = 1.
b) apabila √dua + √8 = tiga√dua maka x – 2 ≠ 1.
Penyelesaian:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2– 1 = 0 serta pernyataan q: sin2 45o = 1. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
sin2 45o = (sin 45)2
sin2 45o = (1/2√dua)2
sin2 45o = 1/4(2)
sin2 45o = dua/4
sin2 45o = 1/2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yg bernilai keliru, maka kalimat terbuka p(x) wajib menjadi pernyataan yang bernilai sahih, sebagai akibatnya nilai x yang memenuhi merupakan sebagai berikut.
x2– 1 = 0
(x – 1)(x + 1) = 0
x = 1 atau x = -1
Jadi, agar kalimat “Jika x2– 1 = 0 maka sin2 45o = 1” menjadi akibat yg galat, maka nilai x merupakan 1 atau -1.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: √dua + √8 = tiga√2 dan kalimat terbuka q(x): x – 2 ≠ 1. Nilai kebenaran pernyataan p merupakan menjadi berikut.
√dua + √8 = √2 + √(4 × 2)
√2 + √8 = √dua + √4 × √2
√dua + √8 = √2 + 2 × √2
√dua + √8 = √2 + 2√2
√dua + √8 = tiga√2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai sahih (B). Agar p ⇒ q sebagai implikasi yang bernilai keliru, maka kalimat terbuka q(x) wajib menjadi pernyataan yang bernilai keliru, sehingga nilai x yg memenuhi merupakan sebagai berikut.
x – dua = 1
x = 1 + 2
x = 3
jika nilai x = tiga, maka kalimat terbuka x – dua ≠ 1 akan menjadi pernyataan yg bernilai galat (S).
Jadi, agar kalimat “Jika √dua + √8 = tiga√2 maka x – 2 ≠ 1” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x adalah 3.
11. Carilah nilai-nilai x agar kalimat “bila 3log 1/tiga = −1 maka x3– 1 = 0” sebagai implikasi yg bernilai sahih.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan yaitu p: jika 3log 1/tiga = −1 serta kalimat terbuka q(x): x3– 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan menjadi berikut.
3log 1/tiga = 3log (3)-1 = −1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Sekarang coba perhatikan balik tabel nilai kebenaran implikasi di atas. Agar p ⇒ q menjadi akibat yang sahih, maka kalimat terbuka q(x) wajib sebagai pernyataan yg bernilai benar. Nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
x3– 1 = 0
x3 = 1
x = tiga√1
x = 1
jadi, supaya kalimat “bila 3log 1/3 = −1 maka x3– 1 = 0” sebagai akibat yg benarm maka nilai x = 1.
12. Carilah nilai-nilai x supaya kalimat “apabila (√4 + √9) sapta rasional, maka x2– 16 = 0” sebagai akibat yang bernilai keliru.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: (√4 + √9) sapta rasional serta kalimat terbuka q(x): x2– 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan menjadi berikut.
√4 + √9 = dua + 3 = 5 (bilangan rasional)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yg dapat dinyatakan pada betuk a/b (pecahan) dimana a dan b merupakan sapta bundar serta b ≠ 0. Contohnya sapta tiga bisa dinyatakan dalam bentuk 6/dua, 9/tiga, 18/6 serta sebagainya.
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇒ q menjadi implikasi yg salah , maka kalimat terbuka q(x) harus sebagai pernyataan yg bernilai salah . Mula-mula kita tentukan terlebih nilai x yg memenuhi yaitu sebagai berikut.
x2– 16 = 0
(x – 4)(x + 4) = 0
x = 4 atau x = −4
● apabila nilai x = 4 atau x = −4, maka kalimat terbuka q(x): x2– 16 = 0 sebagai pernyataan yg bernilai benar (B).
● Jika nilai x ≠ 4 atau x ≠−4, maka kalimat terbuka q(x): x2– 16 = 0 sebagai pernyataan yg bernilai salah (S).
Jadi, agar kalimat “apabila (√4 + √9) bilangan rasional, maka x2– 16 = 0” menjadi implikasi yang bernilai keliru, maka x ∈ R, menggunakan x ≠ 4 serta x ≠−4.
