Kumpulan Contoh Soal SPLDV SPLTV SPLK SPKK dan Jawabannya Terbaru
Dalam metematika kita mengenal beberapa jenis sistem persamaan, yaitu Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), Sistem Persamaan Linear serta Kuadrat (SPLK), serta Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK). Nah, dalam kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan berdasarkan keempat macam sistem persamaan tersebut. Silahkan disimak baik-baik.
#1 Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1. Dengan memakai metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut adalah.
2x–3y = 7
3x + 2y = 4
Jawab
2x–3y = 7 ………. Pers. (7)
3x + 2y = 4 ………. Pers. (8)
Dari persamaan (7) kita peroleh persamaan x menjadi berikut.
⇔
2x–3y
=
7
⇔
2x
=
7 + 3y
⇔
x
=
7 + 3y
2
Subtitusikan persamaan x ke dalam persamaan (8) sebagai berikut.
⇔
3
(
7 + 3y
)
+
2y
=
4
2
⇔
3(7 + 3y) + 4y
=
8 (kedua ruas dikali dua)
⇔
21 + 9y + 4y
=
8
⇔
21 + 13y
=
8
⇔
13y
=
8–21
⇔
13y
=
-13
⇔
y
=
-1
Untuk memilih nilai x, kita subtitusikan nilai y ke persamaan (7) atau persamaan (8) sebagai berikut.
⇔2x–tiga(-1) = 7
⇔2x + 3 = 7
⇔2x = 7–3
⇔2x = 4
⇔x = 2
Dengan demikian, himpunan penyelesaian berdasarkan SPLDV tadi merupakan (dua, -1).
2. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian berdasarkan persamaan berikut ini.
x–2
+
y
=
3
4
x
+
y + 4
=
8
3
Jawab
Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu sebagai bentuk standar. Caranya merupakan persamaan pertama kita kalikan 4 dalam kedua ruasnya sedangkan persamaan ke 2 kita kalian tiga pada ke 2 ruasnya, sehingga membuat persamaan ini dia.
Persamaan pertama:
x–dua + 4y = 12
x + 4y = 12 + 2
x + 4y = 14
Persamaan kedua:
3x + y + 4 = 24
3x + y = 24–4
3x + y = 20
Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut adalah.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Selanjutnya, SPLDV yg terakhir ini bisa diselesaikan menggunakan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan tiga agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan ke 2 persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x + 4y
=
14
× 3
→
3x + 12y
=
42
3x + y
=
20
× 1
→
3x + y
=
20
−
11y
=
22
y
=
2
Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua menggunakan 4 supaya koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan ke 2 persamaan sebagai akibatnya kita peroleh nilai x menjadi berikut.
x + 4y
=
14
× 1
→
x + 4y
=
14
3x + y
=
20
× 4
→
12x + 4y
=
80
−
-11x
=
-66
x
=
6
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = dua sehingga himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan di atas merupakan (6, dua).
3. Dengan menggunakan metode campuran atau gabungan, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan ini dia.
x–2
+
y
=
3
4
x
+
y + 4
=
8
3
Jawab
Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu sebagai bentuk standar. Caranya merupakan persamaan pertama kita kalikan 4 dalam kedua ruasnya sedangkan persamaan ke 2 kita kalian tiga pada ke 2 ruasnya, sehingga membuat persamaan ini dia.
Persamaan pertama:
x–dua + 4y = 12
x + 4y = 12 + 2
x + 4y = 14
Persamaan kedua:
3x + y + 4 = 24
3x + y = 24–4
3x + y = 20
Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut adalah.
x + 4y = 14
3x + y = 20
Selanjutnya, SPLDV yg terakhir ini bisa diselesaikan menggunakan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:
Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan tiga agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan ke 2 persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x + 4y
=
14
× 3
→
3x + 12y
=
42
3x + y
=
20
× 1
→
3x + y
=
20
−
11y
=
22
y
=
2
Langkah terakhir, buat mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y = dua ke persamaan x + 4y = 14, sebagai akibatnya kita peroleh hasil menjadi berikut.
x + 4y = 14
x + 4(dua) = 14
x + 8 = 14
x = 14–8
x = 6
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = dua sehingga himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan di atas merupakan (6, dua).
#dua Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1. Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 3 variabel berikut adalah.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y–2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV pada atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x berdasarkan ketiga persamaan. Perhatikan penerangan berikut.
x + 3y + 2z = 16→koefisien x = 1
2x + 4y–2z = 12→koefisien x = 2
x + y + 4z = 20→koefisien x = 1
Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga menggunakan 2 sedangkan persamaan ke 2 kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x + 3y + 2z
=
16
× 2
→
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y–2z
=
12
× 1
→
2x + 4y–2z
=
12
x + y + 4z
=
20
× 2
→
2x + 2y + 8z
=
40
Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama menggunakan persamaan ke 2 dan persamaan ke 2 menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti pada bawah ini.
■Dari persamaan pertama serta kedua:
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y–2z
=
12
−
2y + 6z
=
20
■Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 4y–2z
=
12
2x + 2y + 8z
=
40
−
2y–10z
=
–28
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
2y + 6z = 20
2y–10z =–28
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV pada atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y menggunakan mengeliminasi z. Untuk bisa mengeliminasi variabel z, maka kita wajib menyamakan koefisien z berdasarkan kedua persamaan. Perhatikan penerangan berikut.
2y + 6z = 20→koefisien z = 6
2y–10z =–28→koefisien z =–10
Agar ke 2 koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali menggunakan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
2y + 6z
=
20
× 5
→
10y + 30z
=
100
2y–10z
=
–28
× 3
→
6y–30z
=
–84
+
16y
=
16
y
=
1
Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk bisa mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y berdasarkan ke 2 persamaan. Berhubung koefisien y ke 2 persamaan telah sama, maka kita mampu eksklusif mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
2y + 6z
=
20
2y–10z
=
–28
−
16z
=
48
z
=
3
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 serta z = tiga. Langkah terakhir, buat mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tadi ke dalam galat satu SPLTV, contohnya persamaan x + y + 4z = 20 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒x + y + 4z = 20
⇒x + 1 + 4(tiga) = 20
⇒x + 1 + 12 = 20
⇒x + 13 = 20
⇒x = 20–13
⇒x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas merupakan (7, 1, 3).
2. Dengan memakai metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian berdasarkan sistem persamaan berikut adalah.
2x + y + z = 12
x + 2y–z = 3
3x–y + z = 11
Jawab:
■Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan pada soal ke bentuk matriks berikut.
2
1
1
x
=
12
1
2
−1
y
3
3
−1
1
z
11
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dydan Dzdengan ketentuan seperti pada langkah-langkah pada atas.
■Menentukan nilai D
D
=
2
1
1
2
1
1
2
−1
1
2
3
−1
1
3
−1
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)]–[(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4–3–1]−[6 + 2 + 1]
D = 0−9
D =−9
■Menentukan nilai Dx
Dx
=
12
1
1
12
1
3
2
−1
3
2
11
−1
1
11
−1
Dx= [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)]–[(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx= [24–11–3]−[22 + 12 + 3]
Dx= 10−37
Dx=−27
■Menentukan nilai Dy
Dy
=
2
12
1
2
12
1
3
−1
1
3
3
11
1
3
11
Dy= [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)]–[(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy= [6–36 + 11]−[9−22 + 12]
Dy=−19–(–1)
Dy=−18
■Menentukan nilai Dz
Dz
=
2
1
12
2
1
1
2
3
1
2
3
−1
11
3
−1
Dz= [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)]–[(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz= [44 + 9–12]−[72−6 + 11]
Dz= 41−77
Dz=−36
■Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dzkita peroleh, langkah terakhir merupakan menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.
x
=
Dx
=
−27
=
3
D
−9
y
=
Dy
=
−18
=
2
D
−9
z
=
Dz
=
−36
=
4
D
−9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas merupakan HP = (3, dua, 4).
#tiga Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
1. Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK berikut adalah.
x + y–1 = 0 ……….bagian linear
x2+ y2–25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yg tidak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu menjadi berikut.
⇒x + y–1 = 0
⇒y = 1–x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1–x ke persamaan kuadrat x2+ y2–25 = 0, sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒x2+ y2–25 = 0
⇒x2+ (1–x)dua–25 = 0
⇒x2+ 1–2x + x2–25 = 0
⇒2x2–2x–24 = 0
⇒x2–x–12 = 0
⇒(x + tiga)(x–4) = 0
⇒x =−3 atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x =−tiga atau x = 4 ke persamaan linear x + y–1 = 0 yaitu menjadi berikut.
●buat x =−tiga diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒−tiga + y–1 = 0
⇒y–4 = 0
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
●buat x = 4 diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒4 + y–1 = 0
⇒y + tiga =−3
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4,−tiga).
Jadi, himpunan solusinya adalah (−tiga, 4), (4,−3). Anggota-anggota berdasarkan himpunan penyelesaian SPLK tadi dapat ditafsirkan menjadi koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2+ y2= 25. Perhatikan gambar berikut adalah.
2. Carilah himpunan penyelesaian berdasarkan SPLK ini dia.
2x + 3y = 8
4x2–12xy + 9y2= 16
Jawab:
Bagian kuadrat bisa difaktorkan sebagai berikut.
⇒4x2–12xy + 9y2= 16
⇒(2x–3y)2–16 = 0
⇒(2x–3y + 4)(2x–3y–4) = 0
⇒2x–3y + 4 = 0 atau 2x–3y–4 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh 2 SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x–3y + 4 = 0
2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x–3y–4 = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan menggunakan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang sudah dibahas dalam artikel sebelumnya. Sebagai model, kita pakai metode adonan.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan memakai metode eliminasi, maka berdasarkan sistem persamaan 2x + 3y = 8 serta 2x–3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y menjadi berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2
Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒2x + 3(dua) = 8
⇒2x + 6 = 8
⇒2x = 8–6
⇒2x = 2
⇒x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini menaruh penyelesaian (1, dua).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x–3y–4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6
y
=
2/3
Kemudian subtitusikan nilai y =2/3ke persamaan 2x + 3y = 8 sebagai akibatnya diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒2x + 3(2/3) = 8
⇒2x +6/3= 8
⇒2x + 2 = 8
⇒2x = 8–2
⇒2x = 6
⇒x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini menaruh penyelesaian (3,dua/3).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tadi adalah (1, dua), (tiga,2/3).
#4 Contoh Soal Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
1. Misalkan diketahui SPKK ini dia.
y = 3x2+ m
y = x2–2x–8
■Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota pada himpunan solusinya.
■Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu.
Jawab:
Banyaknya anggota himpunan penyelesaian berdasarkan suatu SPKK ditentukan dari nilai diskriminan, dengan kriteria menjadi berikut.
1
Jika D > 0, SPKK mempunyai 2 himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
2
Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan pada satu titik atau saling bersinggungan).
3
Jika D < 0, SPKK nir mempunyai himpunan penyelesaian (parabola nir berpotongan atau bersinggungan).
Dengan demikian, agar SPKK tadi sempurna mempunyai satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat adonan wajib sama dengan nol. Persamaan kuadrat campuran didapat menggunakan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2+ m ke persamaan kuadrat y = x2–2x–8 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒3x2+ m = x2–2x–8
⇒3x2–x2+ 2x + 8 + m = 0
⇒2x2+ 2x + (8 + m) = 0
Dari sini kita peroleh persamaan kuadra adonan, menggunakan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:
⇒b2–4ac = 0
⇒(2)dua–4(2)(8 + m) = 0
⇒4–8(8 + m) = 0
⇒4–64–8m = 0
⇒–60–8m = 0
⇒8m =–60
⇒m =–60/8
⇒m =–15/2
⇒m =–7,5
Dengan demikian nilai m merupakan–7,lima.
Sekarang masukkan nilai m yg telah diperoleh ke persamaan kuadrat adonan sehingga diperoleh persamaan menjadi berikut.
⇒2x2+ 2x + (8 + m) = 0
⇒2x2+ 2x + ((8 + (–7,lima)) = 0
⇒2x2+ 2x + 0,lima = 0
Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2
⇒4x2+ 4x + 1 = 0
Kemudian, kita faktorkan buat memperoleh nilai x
⇒(2x + 1)2= 0
⇒(2x + 1) = 0
⇒2x =−1
⇒x =−1/2
Selanjutnya, subtitusikan nilai x =−1/2ke persamaan y = x2–2x–8 sehingga diperoleh:
⇒y = x2–2x–8
⇒y = (−1/2)dua–dua(−1/dua)–8
⇒y =1/4+ 1–8
⇒y =seperempat–7
⇒y =−27/4
Dengan demikian, himpunan penyelesaian menurut SPKK tadi adalah (−1/2,−27/4).
2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut serta gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y =−2x2
y = x2+ 2x + 1
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yg pertama y =−2x2ke bagian kuadrat yg kedua y = x2+ 2x + 1 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒−2x2= x2+ 2x + 1
⇒2x2+ x2+ 2x + 1 = 0
⇒3x2+ 2x + 1 = 0
Persamaan kuadrat ini nir mempunyai akar real lantaran nilai diskriminannya merupakan sapta negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.
D = b2–4ac
Dengan a = 3, b = dua serta c = 1 sebagai akibatnya:
⇒D = (dua)2–4(3)(1)
⇒D = 4–12
⇒D =–8
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tadi adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai ∅. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y =−2x2dan y = x2+ 2x + 1 nir berpotongan serta nir bersinggungan misalnya yang diperlihatkan pada gambar berikut adalah.
