Logika Matematika Ingkaran Konjungsi Disjungsi Implikasi dan Biimplikasi Terbaru
Dalam logika matematika, kita mengenal istilah kalimat deklaratif serta pernyataan. Kalimat deklaratif merupakan kalimat yg memperlihatkan sesuatu hal secara khusus baik itu sahih ataupun salah , baik opini juga warta. Sedangkan pernyataan merupakan kalimat yang hanya sahih saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus sahih dan galat.
Dari pengertian kalimat deklaratif dan pernyataan tersebut bisa dikatakan bahwa seluruh pernyataan adalah kalimat deklaratif, tetapi nir semua kalimat deklaratif merupakan pernyataan. Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut ini.
Kalimat
Keterangan
Tolong buka ventilasi itu!
Tidak deklaratif,
bukan pernyataan
Hotel itu sangat glamor serta nyaman
Deklaratif tetapi nisbi,
bukan pernyataan
Bagaimana fakta adikmu sekrang?
Tidak deklaratif,
bukan pernyataan
Kue buatan tante sangat enak
Deklaratif tetapi nisbi,
bukan pernyataan
Medan adalah Ibukota Sumatera Utara
Deklaratif, pernyataan
Tiga serta sembilan adalah sapta ganjil
Deklaratif, pernyataan
Dua belas adalah bilangan prima
Deklaratif, pernyataan
10 × 10 + 10 = 110
Deklaratif, pernyataan
Rambut keriting lebih disukai sang anak kecil
Deklaratif tetapi nisbi,
bukan pernyataan
Air adalah benda padat
Deklarataif, pernyataan
Kita dapat membuat suatu kalimat baru menggunakan menggabungkan 2 buah pernyataan atau lebih. Kalimat seperti ini dinamakan pernyataan beragam. Jadi pernyataan beragam merupakan kalimat yang dibuat oleh dua atau lebih pernyataan. Untuk membentuk pernyataan majemuk, kalimat-kalimat digabungkan dengan istilah hubung. Kata hubung tersebut antara lain:
■ “dan” dengan simbol (∧)
■ “atau” menggunakan simbol (∨)
■ “jika … maka …” menggunakan simbol (⇒)
■ “jika … serta hanya bila …” dengan simbol (⇔)
Pernyataan majemuk yang dibuat sang kata hubung “dan” diklaim konjungsi. Pernyataan majemuk yg dibuat oleh istilah hubung “atau” disebut disjungsi. Pernyataan beragam yang dibentuk oleh kata hubung “bila … maka …” dianggap implikasi. Serta pernyataan beragam yang dibuat sang kata hubung “jika … dan hanya apabila …” diklaim biimplikasi.
Suatu kalimat pernyataan beragam yang selalu bernilai benar dinamakan tautologi, sedangkan yang nilainya selalu galat dinamakan kontradiksi.
Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas materi nalar matematika tentang konjungsi, disjungsi, implikasi serta biimplikasi. Namun sebagai tambahan kita terlebih dahulu akan membahas tentang ingkaran atau negasi. Silahkan simak penjelasan berikut adalah.
Pengertian dan Contoh Ingkaran (Negasi)
Misalkan diberikan suatu pernyataan “Bilangan genap habis dibagi dua”. Kita memahami bahwa kalimat tersebut bernilai benar. Apabila kita ubah kalimat tadi sebagai “Bilangan genap tidak habis dibagi 2” maka nilai kebenarannya merupakan galat. Kalimat terakhir inilah yang diklaim ingkaran atau negasi berdasarkan kalimat pertama.
Jadi, negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yg bernilai sahih (B), apabila pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya. Misalnya seperti ini, bila kalimat pernyataan bernilai benar, maka setelah dinegasikan, kalimat itu bernilai keliru. Sebaliknya, jika kalimat pernyataan bernilai keliru, maka setalah dinegasikan, kalimat itu bernilai sahih.
Negasi menurut suatu pernyataan p disimbolkan (~p). Maksud berdasarkan ingkaran suatu pernyataan adalah menyangkal nilai kebenaran pernyataan semula dengan menambahkan kata “nir” atau “tidak benar bahwa” dalam pernyataan semula.
Contoh Kalimat Negasi (Ingkaran)
■Senin merupakan hari sesudah selesainya selasa (benar)
Negasinya: Tidak sahih bahwa Senin adalah hari sehabis selasa (salah )
■Surabaya terlatak di Kalimantan (galat)
Negasinya: Surabaya nir terletak di Kalimantan (benar)
Misalkan p adalah suatu pernyataan, ini dia merupakan tabel nilai kebenaran berdasarkan p yg mungkin.
Tabel Nilai Kebenaran Ingkaran atau Negasi
p
~p
B
S
S
B
Keterangan:
B = benar
S = salah
Pengertian, Contoh serta Tabel Kebenaran Konjungsi
Kata hubung dalam konjungsi adalah “dan”, ditulis “∧”. Untuk memilih nilai tabel kebenaran menurut konjungsi, perhatikan gambar berikut adalah.
Misalkan:
p: Tahun 2018 merupakan tahun kabisat.
q: Tahun 2018 memiliki 29 hari pada bulan Februari.
sekarang, kita tentukan negasi menurut p serta q yaitu menjadi berikut.
~p: Tahun 2018 bukan tahun kabisat.
~q: Tahun 2018 nir memiliki 29 hari dalam bulan Februari.
Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat interaksi konjungsi menjadi berikut.
1. Tahun 2018 adalah tahun kabisat dan mempunyai 29 hari dalam bulan Februari.
(kalimat tadi bernilai benar)
2. Tahun 2018 adalah bukan tahun kabisat dan memiliki 29 hari pada bulan Februari.
(kalimat tadi bernilai salah karena nir mungkin ada bulan Februari berjumlah 29 hari, sedangkan tahunnya tidak kabisat).
3. Tahun 2018 adalah tahun kabisat serta tidak mempunyai 29 hari pada bulan Februari.
(kalimat tadi salah lantaran setiap tahun kabisat niscaya jumlah hari bulan Februari adalah 29).
4. Tahun 2018 bukan tahun kabisat dan nir memiliki 29 hari dalam bulan Februari.
(kalimat tadi salah karena kentara bahwa tahun 2018 merupakan tahun kabisat serta jumlah hari pada bulan Februari merupakan 29.)
Dari deskripsi di atas, dapat kita susun tabel nilai kebenaran menurut konjungsi, yaitu sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi
p
q
p ∧ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Contoh Soal Konjungsi 1:
Diberikan dua pernyataan ini dia.
p: Mangga adalah nama butir (benar)
q: Mangga adalah buah berbentuk balok (salah )
Tentukan kalimat konjungsi serta nilai kebenarannya.
Jawab:
p ∧ q: Mangga adalah nama buah serta berbentuk balok, bernilai keliru.
Contoh Soal Konjungsi dua:
Kalimat “Unila merupakan universitas negeri dan terletak di Lampung” bernilai sahih. Mengapa demikian?
Jawab:
Kalimat pada atas, bisa dipisahkan sebagai dua misalnya berikut
p: Unila merupakan universitas negeri (benar)
q: Unila terletak pada Lampung (sahih)
Karena keduanya memiliki nilai kebenaran sahih, kesimpulannya niscaya sahih.
Pengertian, Contoh serta Tabel Kebenaran Disjungsi
Dua kalimat deklaratif yg dihubungkan menggunakan kata hubung “atau” dan ditulis “∨” diklaim disjungsi. Untuk memilih tabel kebenaran dari disjungsi, lakukan cara yg sama buat menciptakan tabel kebenaran konjungsi. Buatlah kalimat yg terdiri atas dua kalimat tunggal yang mempunyai nilai kebenaran: benar-benar, benar-galat, keliru-sahih, serta galat-keliru.
Dengan memperhatikan kalimat-kalimat yang kalian buat, tentukan nilai kebenarannya. Kemudian, konklusi apa yang kalian peroleh? Sebagai contoh, perhatikan gambaran ini dia.
Misalkan Lisa lulus ujian. Begitu dia lulus, beliau akan mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang adiknya Rp5.000,00.
Misalkan:
p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 pada adiknya
sekarang, kita tentukan negasi menurut p serta q yaitu menjadi berikut.
~p: Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan
~q: Lisa tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya
Dari pernyataan pada atas, kita bisa membuat interaksi disjungsi menjadi berikut.
1. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya →Benar
2. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau nir memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya →Benar
3. Lisa nir mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 pada adiknya →Benar
4. Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan atau tidak memberi uang Rp5.000,00 pada adiknya →Salah
Dari citra pada atas, dapat kita susun tabel nilai kebenaran dari disjungsi, yaitu sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi
p
q
p ∨ q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Contoh Soal Disjungsi 1:
Diberikan dua pernyataan ini dia.
p: 4 + 9 = 13 (benar)
q: 6 adalah bilangan prima (benar)
Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.
Jawab:
p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 adalah bilangan prima (sahih).
Contoh Soal Disjungsi dua:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan disjungsi 2 pernyataan berikut.
p: Salah satu faktor menurut 12 adalah lima. (galat)
q: 14 habis dibagi menggunakan dua. (benar)
Jawab:
p ∨ q: Salah satu faktor menurut 12 adalah lima atau 14 habis dibagi dengan dua. (sahih)
Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Implikasi
Implikasi merupakan kalimat majemuk dengan tanda hubung “bila … maka …” dan ditulis “⇒”. Untuk menentukan nilai tabel kebenarannya, perhatikan gambaran berikut. Misalkan jika Lisa lulus ujian maka dia akan memberikan uang kepada adiknya.
Misalnya:
p: Lisa lulus ujian.
q: Lisa memberikan uang pada adiknya.
sekarang kita tentukan negasi menurut p dan q sebagai berikut.
~p: Lisa nir lulus ujian.
~q: Lisa tidak menaruh uang kepada adiknya.
Dari pernyataan di atas, kita bisa menciptakan interaksi implikasi sebagai berikut.
1. Jika Lisa lulus ujian maka beliau akan memberikan uang pada adiknya.
(kalimat ini bernilai benar karena Lisa menepati janji)
2. Jika Lisa lulus ujian maka beliau tidak menaruh uang kepada adiknya.
(kalimat ini galat karena Lisa tidak menepati janji)
3. Apabila Lisa tidak lulus ujian maka ia memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai sahih lantaran meskipun janjinya gugur dia permanen menaruh uang pada adiknya)
4. Jika Lisa nir lulus ujian maka beliau nir memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai sahih lantaran Lisa bebas dari janjinya)
Dari gambaran di atas, kita dapat menyusun nilai tabel kebenaran akibat sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi
p
q
p ⇒ q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Contoh Soal Implikasi 1:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan implikasi dua pernyataan berikut.
p: Pak Rudi merupakan insan. (sahih)
q: Pak Rudi kelak akan tewas. (sahih)
Jawab:
p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan tewas. (benar)
Contoh Soal Implikasi dua:
Tentukan nilai kebenaran berdasarkan implikasi dua pernyataan berikut.
p: 2 + 5 = 7 (sahih)
q: 7 bukan sapta prima (salah )
Jawab:
p ⇒ q: Jika 2 + lima = 7, maka 7 bukan bilangan prima (galat).
Berkaitan dengan kata hubung ⇒, pernyataan majemuk berikut ini acapkali digunakan buat verifikasi. Pernyataan majemuk yang dimaksud merupakan konvers, invers, serta kontraposisi menurut suatu akibat. Adapun interaksi-hubungan yg dimaksud adalah menjadi berikut.
Misalkan diketahui akibat p ⇒ q.
■q ⇒ p disebut konvers berdasarkan p ⇒ q
■~p ⇒ ~q disebut invers menurut p ⇒ q
■~q ⇒ ~p disebut kontraposisi menurut p ⇒ q
Berikut ini merupakan tabel nilai kebenaran dari ketiga hubungan tersebut.
Tabel Nilai Kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi
p
q
~p
~q
p ⇒ q
q ⇒ p
~p ⇒ ~q
~q ⇒ ~p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Dari tabel pada atas, dapat dicermati bahwa implikasi senilai menggunakan kontraposisinya dan invers suatu implikasi senilai menggunakan konvers akibat tersebut. Kesamaan nilai semacam ini dinamakan ekuivalen atau ekuivalensi.
Contoh Soal Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Jika 2 butir sudut adalah siku-siku maka kedua sudut itu sama akbar (sahih).
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya.
Jawab:
Konversnya:
Jika kedua sudut sama akbar maka dua buah sudut itu merupakan siku-siku.
(sanggup benar, sanggup salah )
Inversnya:
Jika kedua sudut nir siku-siku maka ke 2 sudut itu nir sama akbar.
(sanggup benar, sanggup salah )
Kontraposisinya:
Jika ke 2 sudut nir sama akbar maka dua butir sudut itu tidak siku-siku.
(benar)
Contoh Soal Ekuivalensi
Diketahui x merupakan bilangan real. Apabila x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2 (sahih). Tentukan kalimat yang senilai (ekuivalen) dengan kalimat tersebut.
Jawab:
Kalimat di atas selalu senilai menggunakan kontraposisinya, yaitu “apabila x tidak habis dibagi 2 maka x tidak habis dibagi 6”. (benar)
Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Biimplikasi
Kalian sudah mengenal kalimat beragam implikasi. Dari tabel nilai kebenaran akibat itu, coba kalian perhatikan tabel nilai kebenaran berikut adalah.
p
q
p ⇒ q
q ⇒ p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
Dari tabel di atas, nilai kebenaran berdasarkan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) merupakan nilai kebenaran biimplikasi. Biimpilkasi adalah 2 kalimat pernyataan yg memakai kata hubung “apabila dan hanya jika” dan dilambangkan dengan “⇔”. Oleh karenanya, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q. Tanda “≡” merupakan indikasi ekuivalen.
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai kebenaran berdasarkan suatu pernyataan beragam biimplikasi ditunjukkan misalnya pada tabel berikut adalah.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi
p
q
p ⇔ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Contoh Soal Biimplikasi 1:
Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: tiga × dua = 6 (sahih)
q: 6 memiliki faktor 1, 2, 3, 4, 6 (keliru)
Jawab:
p ⇔ q: 3 × dua = 6 jika serta hanya jika 6 mempunyai faktor 1, dua, 3, 4, 6. (keliru)
Contoh Soal Biimplikasi 2:
Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: Persegi mempunyai lima simetri lipat. (salah )
q: Persegi memiliki dua simetri putar. (sala)
Jawab:
p ⇔ q: Persegi memiliki 5 simetri lipat jika dan hanya bila mempunyai dua simetri putar. (sahih)
