Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis Bilangan Terbaru
Dalam artikel sebelumnya, telah dijelaskan mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan memakai grafik fungsi kuadrat atau grafik parabola. Nah, dalam artikel ini kita akan belajar tentang bagaimana caranya menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan diagram garis sapta.
Sebagai contoh, kita akan memilih himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2– 4x + 3 < 0 menggunakan memakai metode garis sapta. Langkah-langkah yg perlu kalian lakukan adalah menjadi berikut.
Langkah #1
Tentukanlah nilai-nilai nol (bila ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan kuadrat. Caranya merupakan menggunakan menggunakan metode pemfaktoran yaitu sebagai berikut.
⇔ x2– 4x + 3 = 0
⇔ (x – 1)(x – 3) = 0
⇔ x = 1 atau x = 3
Langkah #2
Gambarlah nilai-nilai nol yg diperoleh pada langkah #1 dalam bentuk diagram garis sapta. Dan perlu kalian perhatikan, bahwa nilai-nilai nol tadi membagi garis menjadi 3 interval (selang), yaitu x < 1, 1 < x < tiga serta x > tiga misalnya yg ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Langkah #3
Setelah berhasil mendeskripsikan diagram garis sapta, langkah selanjutnya adalah menentukan indikasi-pertanda interval yang diperoleh pada langkah #dua menggunakan cara merogoh nilai uji yg berada pada masing-masing interval. Dalam contoh ini, kita ambil nilai uji x = 0 (berada pada interval x < 1), x = 2 (berada dalam interval 1 < x < 3) dan x = 4 (berada pada interval x > 3). Hasilnya dapat kalian lihat pada tabel pada bawah ini.
Tabel Hasil Uji Interval
Nilai Uji
Nilai x2– 4x + 3
Tanda Interval
x = 0
(0)dua– 4(0) + tiga = +3
+ atau > 0
x = 2
(2)dua– 4(dua) + tiga = −1
− atau < 0
x = 4
(4)2– 4(4) + tiga = +3
+ atau > 0
Berdasarkan output perhitungan pada tabel pada atas, pertanda-indikasi interval dituliskan dalam interval-interval yang sesuai. Perhatikan gambar diagram garis bilangan berikut adalah.
Ingat indikasi + berarti nilainya > 0 sedangkan pertanda – berarti nilainya < 0.
Langkah #4
Berdasarkan tanda-pertanda interval dalam gambar diagram garis sapta dalam langkah tiga, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2– 4x + 3 < 0 merupakan 1 < x < 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian menurut pertidaksamaan kuadrat x2– 4x + tiga < 0 bisa kita tuliskan sebagai berikut.
HP = x 1 < x < 3
Perlu dicatat bahwa tanda-tanda interval pada gambar langkah #3 dapat jua digunakan buat menentukan himpunan penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut adalah.
■x2– 4x + tiga ≤ 0
Himpunan solusinya adalah HP = x 1 ≤ x ≤ tiga
■x2– 4x + tiga > 0
Himpunan solusinya merupakan HP = x x < 1 atau x > tiga
■x2– 4x + 3 ≥ 0
Himpunan solusinya adalah HP = x x ≤ 1 atau x ≥ tiga
Secara umum, penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 atau ax2 + bx + c ≥ 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis sapta melalui empat langkah berikut adalah.
■Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (bila terdapat) pada bagian ruas kiri pertidaksamaan.
ax2 + bx + c = 0
■Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval
■Langkah 3
Tentukan indikasi-pertanda interval menggunakan cara mensubtitusikan nilai-nilai uji yg berada dalam masing-masing interval.
■Langkah 4
Berdasarkan pertanda-tanda interval yg diperoleh pada langkah 3, kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.
Di pada merampungkan pertidaksamaan kuadrat, kita perlu mencermati adanya beberapa bentuk spesifik dari suatu bentuk kuadrat. Ada dua jenis bentuk khusus berdasarkan suatu bentuk kuadrat, yaitu:
1. Definit Positif
Definit positif merupakan bentuk kuadrat ax2 + bx + c > 0 berlaku buat seluruh x ∈ R. Bentuk ax2 + bx + c dianggap definit positif apabila a > 0 serta D < 0.
2. Definit Negatif
Definit negatif merupakan bentuk kuadrat ax2 + bx + c < 0 berlaku buat seluruh x ∈ R. Bentuk ax2 + bx + c diklaim definit negatif bila a < 0 serta D < 0.
Agar kalian lebih paham tentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan diagram garis bilangan, silahkan pelajari baik-baik model soal bersama pembahasannya berikut adalah.
Contoh Soal #1
Tentukanlah penyelesaian berdasarkan setiap pertidaksamaan ini dia dengan memakai garis sapta.
■x2 + x – 6 < 0
■x2 + x – 6 ≤ 0
■x2 + x – 6 > 0
■x2 + x – 6 ≥ 0
Jawab
Karena setiap pertidaksamaan pada atas mempunyai bentuk yg sama, maka buat menghemat waktu, cara penyelesaiannya akan dibahas secara beserta-sama.
Langka #1
Nilai-nilai nol bagian ruas kiri pertidaksamaan merupakan menjadi berikut.
⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ (x + tiga)(x – 2) = 0
⇔ x = -tiga atau x = 2
Langka #2
Nilai-nilai nol yang kita peroleh pada langkah #1, kita gambarkan dalam bentuk diagram garis sapta ini dia.
Langka #3
Kemudian kita tentukan tanda-pertanda interval dengan mengambil nilai uji x = -4 (berada pada interval x < -tiga), x = 0 (berada pada interval -3 < x < 2) dan x = 3 (berada pada interval x > dua). Hasilnya diperlihatkan pada tabel di bawah ini.
Nilai Uji
Nilai x2 + x – 6
Tanda Interval
x = -4
(-4)dua + (-4) – 6 = +6
+ atau > 0
x = 0
(0)dua + (0) – 6 = −6
− atau > 0
x = 3
(tiga)dua + (tiga) – 6 = +6
+ atau > 0
Berdasarkan tabel hasil uji interval di atas, indikasi-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sinkron seperti yang ditunjukkan pada gambar pada bawah ini.
Langka #4
Berdasarkan tanda dalam masing-masing interval seperti yg terlihat dalam gambar di atas, maka penyelesaian buat keempat pertidaksamaan yang ditanyakan dalam soal adalah sebagai berikut.
■x2 + x – 6 < 0 → HP = x -tiga < x < dua
■x2 + x – 6 ≤ 0 → HP = x -tiga ≤ x ≤ dua
■x2 + x – 6 > 0 → HP = x x < -3 atau x > 2
■x2 + x – 6 ≥ 0 → HP = x x ≤ -tiga atau x ≥ 2
Contoh Soal #2
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan kuadrat berikut ini.
■ 2x2– 3x + 4 > 0
■–3x2 + 2x – 1 < 0
Jawab
■Bentuk kuadrat 2x2– 3x + 4 merupakan definit positif sebab:
a = dua > 0
Diskriminan D = b2– 4ac
D = (-tiga)2– 4(dua)(4) = -23 < 0
Maka pertidaksamaan 2x2– 3x + 4 > 0 berlaku buat semua x ∈ R.
Jadi Himpunan penyelesaiannya kita tuliskan HP = x x ∈ R
■Bentuk kuadrat –3x2 + 2x – 1 merupakan definit negatif sebab:
a = -tiga < 0
D = (2)2– 4(-3)(-1) = -8 < 0
Maka pertidaksamaan –3x2 + 2x – 1 < 0 berlaku buat semua x ∈ R.
Jadi Himpunan penyelesaiannya kita tuliskan HP = x x ∈ R
Contoh Soal #3
Carilah batas-batas nilai x agar grafik y = 3x – 1 berada pada atas grafik y = x2– x + dua.
Jawab
Grafik y = 3x – 1 berada pada atas grafik y = x2– x + 2 maka
⇔ 3x – 1 > x2– x + 2
⇔ 0 > x2– x – 3x + 2 + 1
⇔ x2– 4x + tiga < 0
⇔ (x – 1)(x – 3) < 0
⇔ 1 < x < 3
Jadi, grafik y = 3x – 1 berada di atas grafik y = x2– x + 2 buat batas-batas nilai 1 < x < tiga.
Demikianlah artikel tentang cara gampang memilih himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat berguna buat Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, alfabet juga nomor dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya serta sampai jumpa pada artikel berikutnya.
