Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Umum Sifat Metode Penyelesaian Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Bentuk Umum Pertidaksamaan Pecahan
Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut adalah.
(a)
1
>
0
x
(b)
x – 1
<
0
x + 2
(c)
x2– 6
≥
0
x2 – 6x + 3
(d)
x3– 8
≤
0
x2– 4x
Pertidaksamaan-pertidaksamaan pada atas dinamakan pertidaksamaan pecahan. Pertidaksamaan pecahan mempunyai empat macam bentuk generik atau bentuk baku yakni sebagai berikut.
1.
f(x)
<
0
g(x)
2.
f(x)
≤
0
g(x)
3.
f(x)
>
0
g(x)
4.
f(x)
≥
0
g(x)
Dengan f(x) serta g(x) merupakan fungsi-fungsi dalam x, serta g(x) ≠ 0.
Sifat-Sifat Pertidaksamaan Pecahan
Perhatikan bentuk pecahan 1/4. Pecahan 1/4 > 0 karena 1 > 0 serta 4 > 0. Namun, coba perhatikan bentuk −1/−4. Bentuk −1/−4 = 1/4 > 0. Ternyata, bila −1 < 0 dan −4 < 0 akan berakibat −1/−4 = 1/4 > 0. Jadi, bisa dikatakan bahwa:
a/b > 0 ⇔ a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0
Hal ini diperluas untuk suatu fungsi misalkan f(x) serta g(x).
f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 dan g(x) > 0 atau f(x) < 0 serta g(x) < 0
Sekarang cobalah untuk bentuk pecahan −seperempat. Lantaran −1 < 0 dan 4 > 0 maka −seperempat < 0. Jadi, pada pertidaksamaan f(x)/g(x) < 0 akan berlaku.
f(x)/g(x) < 0 ⇔ f(x) < 0 serta g(x) > 0 atau f(x) > 0 dan g(x) < 0
Lebih lanjut, berlaku juga untuk pertidaksamaan f(x)/g(x) ≥ 0 serta f(x)/g(x) ≤ 0, yaitu menjadi berikut.
●
f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 serta g(x) > 0 atau f(x) ≤ 0 dan g(x) < 0
●
f(x)/g(x) ≤ 0 ⇔ f(x) ≥ 0 serta g(x) < 0 atau f(x) ≤ 0 serta g(x) > 0
Dengan sifat-sifat di atas, kalian dapat menuntaskan pertidaksamaan pecahan. Perhatikan beberapa model soal serta pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Carilah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut adalah.
a.
x – 2
>
0
x + 3
b.
3x – 2
≤
0
x + 1
Jawab:
a. Kita pakai sifat di atas yaitu sebagai berikut.
x – 2
>
0
x + 3
⇒ x – 2 > 0 dan x + tiga > 0 atau x – dua < 0 atau x + 3 < 0.
Dalam hal ini, f(x) = x – dua serta g(x) = x + 3.
● Untuk x – 2 > 0 dan x + tiga > 0 berarti x > 2 serta x > −tiga. Selanjutnya, kita buat garis bilangan berikut wilayah arsiran yang adalah penyelesaian menurut ke 2 pertidaksamaan. Garis sapta dan daerah arsirannya tampak dalam gambar berikut ini.
Setelah itu, kita tentukan irisan daerah arsiran dari ke 2 garis sapta berarsir itu, yaitu menjadi berikut.
Dari gambar tadi, tampak bahwa irisan wilayah arsiran (wilayah yg sama-sama terkena arsiran) adalah x > dua.
● Untuk x – dua < 0 serta x + tiga < 0, berarti x < 2 serta x < −tiga.
Jika digambarkan dalam garis sapta tampak menjadi berikut.
Daerah yg sama-sama terkena arsiran ditunjukkan dalam gambar berikut.
Dari gambar irisan tadi tampak bahwa penyelesaian untuk x – 2 < 0 dan x + tiga < 0 adalah x < −3.
Dengan demikian, penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan berikut ini
x – 2
>
0
x + 3
adalah x x > dua atau x < −3.
b. Untuk pertidaksamaan pecahan yg kedua berlaku sifat menjadi berikut.
3x – 2
≤
0
x + 1
⇒ 3x – dua ≥ 0 dan x + 1 < 0 atau 3x – 2 ≤ 0 dan x + 1 > 0.
● Untuk 3x – 2 ≥ 0 serta x + 1 < 0 , berarti x ≥2/tiga serta x < −1.
Daerah penyelesaiannya dapat digambarkan dalam garis sapta berikut ini.
Dari gambar tadi, terlihat bahwa tidak terdapat daerah dari kedua garis sapta itu yang beririsan sehingga bisa disimpulkan bahwa tidak terdapat nilai x yg memenuhi pertidaksamaan:
3x – 2
≤
0
x + 1
● Untuk 3x – dua ≤ 0 serta x + 1 > 0, berarti x ≤dua/3 dan x > −1.
Jika digambarkan pada garis bilangan tampak seperti gambar di bawah ini.
Berdasarkan gambar pada atas, terlihat bahwa daerah −1 < x ≤dua/tiga adalah wilayah yang sama-sama terkena arsiran (beririsan).
Jadi, dari 2 kemungkinan pada atas, penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan pecahan berikut ini
3x – 2
≤
0
x + 1
adalah x −1 < x ≤2/tiga.
Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Pecahan
Metode buat menyelesaikan pertidaksamaan pecahan memakai garis sapta, dapat juga dilakukan menggunakan langkah-langkah berikut.
■Tentukan penghasil nol bagian pembilang serta penyebut menurut pecahan itu, yaitu f(x) = 0 serta g(x) = 0.
■Lukislah nilai-nilai pembuat nol itu pada garis bilangan sehingga diperoleh interval-interval.
■Lukislah indikasi-indikasi (+ atau −) dalam interval dengan mensubtitusikan nilai-nilai yang berada pada masing-masing interval.
■Tentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. (Ingat: bagian penyebut nir boleh sama dengan nol atau g(x) ≠ 0).
Dengan metode tersebut, kalian akan lebih cepat menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan yang diberikan. Sekarang coba kalian pahami contoh soal berikut adalah.
Contoh Soal 1:
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan ini dia.
a.
3x – 6
≤
0
2x + 4
b.
x2– 2x – 3
>
0
x2– 4
c.
x + 4
≤
1
x + 1
2
Jawab:
a. Pertidaksamaan ini bisa diselesaikan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
■Nilai-nilai produsen nol
Bagian pembilang: 3x – 6 = 0 ⇔ x = 2
Bagian penyebut: 2x + 4 = 0 ⇔ x = −2
■Garis sapta berdasarkan pembuat nol itu tampak misalnya dalam gambar di bawah ini.
■Misalkan dipilih x = 0. Dengan mensubtitusikan x = 0 ke ruas kiri pertidaksamaan maka diperoleh:
3x – 6
=
3(0) – 6
=
−
6
<
0
2x + 4
2(0) + 4
4
Karena hasilnya lebih mini daripada nol (0), maka interval dalam x = 0 bertanda negatif.
Jika satu interval telah diketahui tandanya, maka dua interval lain dapat dengan gampang ditentukan tandanya tanpa menguji nilai pada interval tersebut. Caranya merupakan dengan memakai teknik selang-seling yaitu dua indikasi yang berdampingan selalu berlawanan, misal: sebelah kiri negatif, maka sebelah kanan positif dan seterusnya. Dengan cara tadi, maka tanda pada interval produsen nol tersebut adalah sebagai berikut.
■Bagian penyebut nir sama menggunakan nol, g(x) ≠ 0 sehingga x = −dua bukan termasuk daerah penyelesaian. Oleh karenanya, himpunan solusinya adalah x −2 < x ≤ 2, x ∈ R. Penyelesaian ini tampak pada garis sapta berikut.
b. Pertidaksamaan pecahan ini dapat dikerjakan menggunakan langkah yang sama misalnya pada atas, yaitu menjadi berikut.
Pembuat nol bagian pembilang:
x2– 2x – 3 = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = tiga serta x = −1
Pembuat nol bagian penyebut:
x2– 4 = 0
⇒ (x – dua)(x + 2) = 0
⇒ x = dua serta x = −2
Karena x2– 4 ≠ 0, maka tentu saja x ≠ dua atau x ≠−2
Jika digambarkan pada garis sapta, tampak menjadi berikut.
Untuk memilih pertanda (+ atau −), pilih titik x = 0 buat pengujian dengan cara mensubtitusikan ke pertidaksamaan pecahannya.
x2– 2x – 3
=
02– dua(0) – 3
=
3
>
0
x2– 4
02– 4
4
Karena hasilnya sama lebih besar dari nol (0), maka interval yg memuat x = 0 bertanda negatif. Dengan menggunakan teknik selang-seling, maka tanda dalam tiga interval lainnya adalah menjadi berikut.
Karena yang diminta adalah lebih akbar berdasarkan nol (> 0), maka himpunan solusinya merupakan interval yg bertanda positif (+) seperti yang diperlihatkan dalam wilayah arsiran dalam gambar garis sapta ini dia.
Jadi, himpunan solusinya adalahn x x < −dua, −1 < x < 2, atau x > 3.
c. Langkah pertama adalah memindahkan suku pada ruas kanan ke ruas kiri sebagai akibatnya diperoleh:
x + 4
≤
1
x + 1
2
⇒
x + 4
−
1
≤
0
x + 1
2
⇒
2(x + 4) − (x + 1)
≤
0
2(x + 1)
⇒
x + 7
≤
0
2x + 2
Pembuat nol bagian pembilang adalah x = −7. Syarat lain bagian penyebut nir sama menggunakan nol maka 2x + dua ≠ 0 ⇔ x ≠−1. Dengan cara yang sama diperoleh garis bilangan ini dia.
Karena yg diminta adalah kurang dari atau sama dengan nol (≤ 0), maka himpunan solusinya merupakan x −7 ≤ x < −1.
