Sifat Logaritma MacamMacam Pembuktian Contoh Soal dan Pembahasannya Terbaru

Dalam artikel tentang definisi serta notasi logaritma, sudah dijelaskan bahwa logaritma merupakan invers atau kebalikan dari pemangkatan. Ketika kita mencari nilai logaritma suatu sapta berarti kita sedang mencari pangkat berdasarkan suatu sapta pokok sebagai akibatnya hasilnya sesuai menggunakan yang telah diketahui. Untuk mencari logaritma suatu sapta, kita bisa memakai tabel logaritma biasa.

Namun pada matematika, nilai logaritma suatu bilangan nir harus dicari menggunakan menggunakan tabel logaritma, karena logarima mempunyai beberapa sifat atau rumus identitas yang bisa dipergunakan buat menentukan nilai logaritma suatu bilangan menggunakan kondisi atau syarat eksklusif. Ini dia merupakan gambar sifat-sifat logaritma yang telah penulis rangkum.

Untuk memahami sifat-sifat logaritma, cara verifikasi sifat atau rumus logaritma dan contoh soal yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi hitung logaritma, silahkan kalian pelajari uraian artikel berikut ini.

Bentuk Umum Logaritma

ax= b

↔

x =alog b

Dengan  kondisi b > 0, a > 0 serta a≠1

Keterangan:

a

=

bilangan pokok atau basis logaritma

b

=

numerus, yaitu sapta yang akan dicari nilai logaritmanya

x

=

hasil logaritma, bisa positif, nol atau bahkan negatif.

Rumus Identitas Logaritma

1

alog an

= n

2

alog a

= 1

3

alog 1

= 0

Pembuktian ketiga rumus bukti diri logaritma pada atas adalah sebagai berikut

1

alog an= n→an= an

2

alog a =1→a1= a

3

alog 1 =0→a0= 1

Macam-Macam Sifat Logaritma serta Rumusnya

#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)

alog (b × c) =alog b +alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an= b

alog c = m maka am= c

b × c = an× am

dengan menggunakan sifat operasi hitung sapta berpangkat diperoleh

b × c = an + msehingga

alog (b × c) = n + m, karena n =alog b dan m =alog c maka

alog (b × c) =alog b +alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2log 4 +2log 8
2. 5log ½ +5log 50

Jawab

1. 2log 4 +2log 8 =2log (4 × 8) =2log 32 = 5
2. 5log ½ +5log 50 =5log (½ × 50) =5log 25 = 2

#Sifat dua (Pembagian Logaritma)

alog (b/c) =alog b−alog c

Pembuktian sifat dua logaritma

Misalkan

alog b = n maka an= b

alog c = m maka am= c

b/c = an/am

dengan menggunakan sifat operasi hitung sapta berpangkat diperoleh

b/c = an−msehingga

alog (b/c) = n−m, karena n =alog b dan m =alog c maka

alog (b/c) =alog b−alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 7log 217−7log 31
2. log 0,05−log 5

Jawab

1. 7log 217−7log 31 =7log (217/31) =7log 7 = 1
2. log 0,05−log lima = log (0,05/5) = log 0,01 =−2

#Sifat tiga (Perpangkatan Logaritma)

alog bn= n ×alog b

Pembuktian sifat tiga logaritma

Dari sifat 1 logaritma,

alog b +alog b =alog (b × b)

2alog b =alog b2

Dengan cara yg sama:

alog b2+alog b =alog (b2× b)

2alog b +alog b =alog b3

3alog b =alog b3

Dengan cara yg sama:

alog b3+alog b =alog (b3× b)

3alog b +alog b =alog b4

4alog b =alog b4

Dengan demikian dapat disimpulkan:

nalog b =alog bn

atau

alog bn= n ×alog b

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2 log 25–3 log 5 + log 20
2. ½2log 82–32log tiga +2log 48

Jawab

1. 2 log 25–3 log 5 + log 20

= log 252–log 53+ log 20

= log (252/53) + log 20

= log 5 + log 20

= log (lima × 20)

= log 100 = 2

1. ½2log 82–32log tiga +2log 48

=2log 82½–2log 33+2log 48

=2log (9/27) +2log 48

=2log 1/3 +2log 48

=2log (1/tiga × 48)

=2log 16 = 4

#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)

alog b

=

nlog b

nlog a

Pembuktian sifat 4 logaritma

Misalkan

alog b = m maka b = am

nlog b =nlog am

nlog b = m ×nlog a

m =nlog b/nlog a

alog b =nlog b/nlog a

Contoh Soal

Jika2log tiga = a, nyatakan bentuk logaritma8log tiga ke dalam a.

Jawab

8log 3 = log tiga/log 8

8log 3 = log tiga/log 23

8log tiga = 1/3 × (log 3/log 2)

8log tiga = 1/tiga ×2log 3

8log 3 = 1/3 a

#Sifat lima (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma dua)

alog b

=

1

blog a

Pembuktian sifat 5 logaritma

Sifat logaritma yang ke-lima ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.

alog b =nlog b/nlog a

alog b =blog b/blog a

alog b = 1/blog a

Contoh Soal

Tentukan nilai dari2log 8 dan64log 4

Jawab

2log 8 = 1/8log 2

2log 8 = 1/8log 81/3

2log 8 = 1/(1/3)

2log 8 = 3

64log 4 = 1/4log 64

64log 4 = 1/4log 43

64log 4 = 1/3

#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)

alog b ×blog c =alog c

Pembuktian sifat 6 logaritma

Dengan menggunakan sifat logaritma angka 4 di atas maka:

alog b =nlog b/nlog a

blog c =nlog c/nlog b

sehingga

alog b ×blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)

alog b ×blog c =nlog c/nlog a

alog b ×blog c =alog c

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

1. 2log lima ×5log 64
2. 2log 25 ×5log tiga ×3log 32

Jawab

1. 2log lima ×5log 64 =2log 64 =2log 26= 6
2. 2log 25 ×5log tiga ×9log 32

=2log 52×5log 3 ×3log 25

= 22log 5 ×5log tiga × 53log 2

= dua × lima ×2log lima ×5log 3 ×3log 2

= 10 ×2log 2

= 10 × 1

= 10

#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)

anlog bm

=

m

×alog b

n

Pembuktian sifat 7 logaritma

Misalkan

anlog bm= c maka (an)c= bm

(an)c= bm

an×c= bm

b =m√(anc)

b = anc/m(bentuk pangkat ini kita ubah sebagai bentuk logaritma)

alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)

m/n ×alog b = c

m/n ×alog b =anlog bm

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

a)22log 43

b)24log√32

Jawab

a)22log 43= 3/dua × log 4 = 3/2(dua) = 3

b)24log√32=24log 32½= 1/8 ×2log 32 = 1/8 (lima) = lima/8

#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)

anlog bn=alog b

Pembuktian sifat 8 logaritma

Dengan memakai sifat 7 logaritma, sifat 8 ini telah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan pembuktiannya.

Contoh Soal

Jika2log tiga = a, nyatakan logaritma8log 27 ke pada bentuk a

Jawab

8log 27 =23log 33=2log 3 = a

#Sifat 9 (Perluasan berdasarkan Bentuk Umum Logaritma)

aalog b= b

Pembuktian sifat 9 logaritma

Misalkanalog b = c maka ac= b, sehingga

aalog b= ac= b

aalog b= b

Contoh Soal

Sederhanakanlah

a) 22log 5

b) 33log 4

c) 55log 10

d) 77log 25

Jawab

a)22log 5= 5

b)33log 4= 4

c)55log 10= 10

d)77log 25= 25

#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)

alog (b/c) =−alog (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma

Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan menggunakan memakai sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah menjadi berikut:

alog (b/c) =alog b−alog c

alog (b/c) =−(alog c−alog b)

alog (b/c) =−alog (c/b)

alog (b/c) =−alog (c/b)

Contoh Soal

Tentukan nilai logaritma dari

1. 2log (4/2)
2. 4log (32/2)

Jawab

1. 2log (4/2) =−2log (2/4) =−2log ½  =−2log 2−1 =−(−1) 2log dua = 1
2. 4log (32/2)=−4log (dua/32) =−4log (1/16) =−4log 4-dua =−(−dua) 4log 4 = 2

Demikianlah artikel mengenai sifat-sifat atau rumus operasi hitung logaritma, pembuktian sifat logaritma serta model soal tentang sifat logaritma bersama pembahasannya. Semoga bisa berguna buat Anda. Terimakasih atas kunjungannya serta sampai jumpa di artikel berikutnya.