10 Soal Cerita Pertidaksamaan Linear/Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasannya Terbaru
Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, suatu masalah kadang-kadang bisa diterjemahkan pada model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Pertidaksamaan satu variabel yg diperoleh dapat berbentuk:
■Pertidaksamaan linear
■Pertidaksamaan kuadrat
■Pertidaksamaan irasional
■Pertidaksamaan nilai mutlak
Nah, dalam kesempatan kali ini kita hanya akan membahas rancangan contoh matematika yg berbentuk pertidaksamaan linear + kuadrat satu variabel. Untuk itu silahkan kalian simak baik-baik penjelasan ini dia. Selamat belajar serta semoga mampu paham.
Merancang Model Matematika yang Berbentuk Pertidaksamaan Linear
Jika dalam suatu masalah memuat istilah-kata misalnya: “kurang menurut”, “tidak lebih menurut”, “lebih menurut”, atau “tidak kurang berdasarkan”, maka merupakan tanda bahwa kasus tadi berkaitan menggunakan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Setelah diketahui bahwa masalahnya merupakan contoh matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, selanjutnya kasus tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
1. Tentukan besaran pada masalah yg dibuat sebagai variabel pertidaksamaannya.
2. Rumuskan pertidaksamaan yg adalah contoh matematika menurut masalah.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.
4. Berikan tafsiran terhadap hasil yg diperoleh.
Untuk memahami bagaimana memecahkan kasus yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah gambaran berikut ini.
Jumlah dua butir bilangan asli kurang dari 20.
Jika sapta pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas sapta yang ke 2.
Dari kalimat “jumlah 2 buah sapta orisinil kurang menurut 20” merupakan indikator bahwa perkara tersebut berkaitan dengan contoh matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, perkara dipecahkan dengan cara menjadi berikut.
■Menentukan besaran dalam masalah menjadi variabel x.
Bilangan pertama diketahui sama menggunakan 6, sapta ke 2 dimisalkan sama dengan x.
■Merumuskan model matematika berdasarkan masalah.
Berdasarkan ketentuan pada soal, diperoleh hubungan atau aktualisasi diri matematika menjadi berikut.
6 + x < 20
■Menentukan penyelesaian dari model matematika.
Penyelesaian model matematika 6 + x < 20 ditentukan sebagai berikut.
6 + x < 20
⇒ x < 20 – 6
⇒ x < 14
■Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.
x < 14
Jadi, sapta kedua besarnya tidak boleh melebihi bilangan 14.
Sekarang supaya kalian lebih tahu serta terampil dalam memecahkan kasus yg berkaitan dengan model matematika berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, silahkan kalian simak beberapa contoh soal cerita serta pembahasannya berikut ini.
Soal Cerita 1:
Jumlah dua bilangan nir kurang dari 100 dan sapta ke 2 sama dengan 3 kali sapta pertama. Tentukan batas-batas nilai dari ke 2 bilangan itu.
Jawab:
Misalkan sapta pertama x maka bilangan ke 2 sama menggunakan 3x.
Berdasarkan ketentuan yg terdapat pada soal, diperoleh model matematika sebagai berikut.
x + 3x ≥ 100
⇒ 4x ≥ 100
Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu diselesaikan sebagai berikut.
4x ≥ 100
⇒ x ≥ 25
Bilangan pertama (x) ≥ 25
Karena sapta ke 2 sama menggunakan 3 kali sapta pertama maka:
Bilangan ke 2 (3x) ≥ 75
Jadi, batas-batas nilai sapta pertama nir kurang dari 25 dan batas-batas nilai bilangan kedua nir kurang menurut 75.
Soal Cerita 2:
Panjang dan lebar persegi panjang ABCD masing-masing 30 cm dan 20 cm. Bagian tepi-tepi persegi panjang itu dipotong selebar x centimeter sebagai akibatnya diperoleh persegi panjang PQRS. Perhatikan gambar pada bawah ini. Keliling persegi panjang PQRS nir lebih dari 52 cm. Tentukan batas-batas panjang pemotongan yang dilakukan.
Jawab:
Perhatikan persegi panjang PQRS dalam gambar pada atas.
Panjang PQ = (30 – 2x) centimeter serta lebar QR = (20 – 2x) cm
Keliling persegi panjang PQRS adalah:
K = 2(PQ + QR)
⇒ K = 2[(30 – 2x) + (20 – 2x)]
⇒ K = 2(50 – 4x)
⇒ K = 100 – 8x
Berdasarkan ketentuan dalam soal, keliling persegi panjang PQRS nir lebih dari 52 centimeter. Dengan demikian diperoleh contoh matematika sebagai berikut.
K ≤ 52
⇒ 100 – 8x ≤ 52
Kemudian kita selesaikan contoh pertidaksamaan linier satu variabel tadi, yaitu sebagai berikut.
100 – 8x ≤ 52
⇒–8x ≤ 52 – 100
⇒–8x ≤–48
⇒ 8x ≥ 48
⇒ x ≥ 6
Selain itu, yg perlu kalian tahu bahwa berukuran suatu besaran (panjang atau lebar) nir boleh bernilai negatif. Oleh karenanya, ada syarat tambahan bahwa panjang PQ = 30 – 2x ≥ 0 dan lebar QR = 20 – 2x ≥ 0. Lalu kita selesaikan dua pertidaksamaan linear tersebut.
30 – 2x
≥
0
20 – 2x
≥
0
2x
≤
30
2x
≤
20
x
≤
15
x
≤
10
Sampai termin ini kita memperoleh tiga penyelesaian, yaitu sebagai berikut.
x ≥ 6
x ≤ 15
x ≤ 10
Gabungan dari 3 penyelesaian tadi memberikan solusi 6 ≤ x ≤ 10.
Dengan demikian, batas-batas panjang pemotongan yang bisa dilakukan adalah 6 cm ≤ x centimeter ≤ 10 centimeter.
Soal Cerita tiga:
Umur Lisa serta Muri masing-masing (5x – 2) dan (2x + 4). Apabila umur Lisa lebih menurut umur Muri, maka tentukanlah batas-batas nilai x.
Jawab:
Dari soal terdapat kata “lebih berdasarkan” yg berarti kita pergunakan pertanda “>”. Dengan ketentuan yg terdapat pada soal, maka kita peroleh model matematika berikut.
Umur Lisa > umur Muri
⇒ 5x – dua > 2x + 4
Kemudian kita selesaian bentuk pertidaksamaan linear satu variabel pada atas, yaitu menjadi berikut.
5x – dua > 2x + 4
⇒ 5x – 2x > 4 + 2
⇒ 3x > 6
⇒ x > 2
Jadi, batas-batas nilai x adalah sapta yg lebih dari 2.
Soal Cerita 4:
Pak Irvan memiliki sebuah kendaraan beroda empat box pengangkut barang menggunakan daya angkut tidak lebih menurut 500 kg. Berat pak Irvan merupakan 60 kg serta dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.
■Tentukan poly kotak maksimum yg dapat diangkut sang pak Irvan dalam sekali pengangkutan!
■Jika pak Irvan akan mengangkut 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan terangkut semua?
Jawab:
Dari soal kita peroleh beberapa model matematika menjadi berikut:
(a) Misalnya x menyatakan poly kota yang diangkut oleh kendaraan beroda empat buat sekali jalan.
(b) Setiap kotak beratnya 20 kg, sebagai akibatnya x kotak beratnya 20x kg.
(c) Total berat sekali jalan merupakan berat kotak ditambah berat pak Irvan yaitu 20x + 60.
(d) Daya angkut mobil tidak lebih dari, sebagai akibatnya kita pergunakan tanda “≤”.
(e) Daya angkut tidak lebih dari 500 kg sehingga dari ketentuan (c) kita peroleh contoh pertidaksamaan berikut.
20x + 60 ≤ 500
■Menentukan poly kotak maksimum yang bisa diangkut pada sekali jalan.
Menentukan banyak kotak berarti sama saja dengan memilih nilai x, yaitu menggunakan menuntaskan pertidaksamaan berikut.
20x + 60 ≤ 500
⇒ 20x ≤ 500 – 60
⇒ 20x ≤ 440
⇒ x ≤ 22
Dari penyelesaian tadi, kita peroleh nilai maksimum dari x merupakan 22. Dengan demikian, dalam setiap kali jalan mobil box bisa mengangkut paling banyak 22 kotak.
■Menentukan banyaknya embarkasi buat mengangkut 115 kotak
Agar proses pengangkutan dilakukan sedikit mungkin (minimum), maka setiap kali jalan wajib mampu membawa kotak paling banyak 22 kotak. Maka kita peroleh beberapa ketentuan menjadi berikut:
● Misalkan y menyatakan banyaknya embarkasi (bepergian).
●Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sehingga buat y perjalanan akan terangkut 22y kotak.
●Akan diangkut 115 kotak, adalah buat semua bepergian minimal 115 kotak harus terangkut semua, sehingga kita peroleh contoh matematika menjadi berikut.
22y ≥ 115
Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan linear pada atas, yaitu sebagai berikut.
22y ≥ 115
⇒ y ≥115/22
⇒ y ≥ 5,227
Dari penyelesaian y ≥ lima,227 dan y sapta bulat positif karena menyatakan jumlah perjalanan, maka nilai minimum (terkecil) menurut y adalah 6 (bilangan bundar ). Dengan demikian, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengangkut 115 kotak.
Soal Cerita 5:
Jumlah dua sapta tidak kurang berdasarkan 400. Apabila sapta pertama sama dengan empat kali bilangan kedua, maka tentukanlah batas-batas nilai berdasarkan kedua bilangan tadi.
Jawab:
Langkah pertama, kita identifkasi besaran yang belum diketahui. Besaran tadi merupakan sapta pertama serta sapta ke 2. Selanjutnya kita misalkan bilangan pertama serta bilangan ke 2 menjadi variabel.
Misalkan :
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = y
Dari soal diketahui jika sapta pertama sama menggunakan empat kali sapta kedua, degan demikian berlaku interaksi:
x = 4y
Selanjutnya diketahui bahwa jumlah ke 2 bilangan tadi nir kurang dari 400. Kata “Tidak kurang” dalam soal adalah tanda interaksi pertidaksamaan lebih besar sama menggunakan (≥). Itu merupakan, model pertidaksamaannya adalah pertidaksamaan lebih dari sama menggunakan.
Berdasarkan syarat yg diketahui pada soal, maka bentuk pertidaksamaan yg sesuai menggunakan soal adalah sebagai berikut:
⇒ x + y ≥ 400
Karena x = 4y, maka pertidaksamaannya sebagai:
⇒ 4y + y ≥ 400
⇒ 5y ≥ 400
Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan linear tadi menggunakan manipulasi aljabar yaitu menggunakan membagi kedua ruas menggunakan 5 sehingga diperoleh:
⇒ 5y ≥ 400
⇒ y ≥ 80
Karena kedua ruas sama-sama dibagi 5 (sapta positif), maka tanda pertidaksamaannya tetap. Nilai y di atas adalah batas nilai untuk bilangan kedua. Selanjutnya kita tentukan batas nilai buat sapta pertama:
⇒ x + y ≥ 400
⇒ x + 80 ≥ 400
⇒ x + 80 – 80 ≥ 400 – 80
⇒ x ≥ 320
Jadi, batas nilai buat sapta pertama tidak kurang dari 80 serta batas nilai buat sapta ke 2 nir kurang dari 320.
Soal Cerita 6:
Jumlah dua sapta tidak lebih dari 120. Apabila sapta kedua adalah 10 lebihnya dari sapta pertama, maka tentukan batas nilai untuk sapta pertama.
Jawab:
Sama misalnya soal pertama, ada dua besaran yang nir diketahui yaitu sapta pertama serta bilangan ke 2. Selanjutnya kita jadikan besaran tersebut sebagai variabel.
Misalkan:
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = y
Dari soal diketahui bahwa sapta kedua “10 lebihnya dari bilangan pertama”, maka berlaku hubungan sebagai berikut:
y = x + 10
Pada soal juga diketahui bahwa jumlah ke 2 bilangan “tidak lebih” dari 120. Kata “nir lebih” merupakan tanda pertidaksamaan kurang menurut sama dangan (≤). Jadi, bentuk pertidaksamaan yg sesuai menggunakan soal merupakan pertidaksamaan kurang dari sama menggunakan. Selanjutnya kita susun pertidaksamaannya:
⇒ x + y ≤ 120
Karena y = x + 10, maka pertidaksamaannya menjadi:
⇒ x + x + 10 ≤ 120
⇒ 2x + 10 ≤ 120
⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10
⇒ 2x ≤ 110
⇒ x ≤ 55
Jadi, batas nilai buat sapta pertama tidak lebih berdasarkan 55.
Soal Cerita 7:
Suatu contoh kerangka balok terbuat menurut dawai dengan ukuran panjang (x + 5) centimeter, lebar (x – dua) centimeter, dan tinggi x cm.
■Tentukan model matematikan menurut persamaan panjang kawat yang dibutuhkan pada x.
■Jika panjang kawat yg dipakai seluruhnya nir lebih berdasarkan 132 centimeter, tentukan berukuran maksimum balok tadi.
Jawab:
Agar lebih gampang memahami soal, perhatikan gambaran balok berikut adalah.
■Menentukan model matematika
Misalkan K menyatakan total panjang dawai yg dibutuhkan buat menciptakan kerangka balok, maka total panjang kawat yg diperlukan adalah jumlah berdasarkan seluruh rusuknya, sebagai akibatnya panjang K adalah menjadi berikut.
K = 4p (panjang) + 4l (lebar) + 4t (tinggi)
K = 4(x + lima) + 4(x – 2) + 4x
K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x
K = 12x + 12
Jadi, kita peroleh contoh matematika buat panjang kawat total yaitu K = 12x + 12.
■Menentukan ukuran maksimum balok
Panjang dawai nir boleh lebih dari 132 cm maka model pertidaksamaannya bisa ditulis sebagai berikut.
K ≤ 132
12x + 12 ≤ 132
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan linear satu variabel tadi, yaitu sebagai berikut.
12x + 12 ≤ 132
⇒ 12x ≤ 132 – 12
⇒ 12x ≤ 120
⇒ x ≤ 10
Dari penyelesaian x ≤ 10, maka nilai maksimum menurut x adalah 10. Dengan demikian, berukuran balok yaitu panjang, lebar dan tingginya adalah menjadi berikut.
Panjang = x + lima ⇔ 10 + lima = 15 cm
Lebar = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm
Tinggi = x ⇔ 10 cm
Jadi, berukuran maksimum balok merupakan (15 × 8 × 10) centimeter.
Soal Cerita 8:
Jumlah 2 bilangan kurang menurut 80. Bilangan kedua sama menggunakan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas kedua sapta itu.
Jawab:
Misalkan sapta pertama x, maka bilangan ke 2 sama dengan 3x. Jumlah ke 2 bilangan itu kurang dari 80. Oleh karena itu, model matematikanya merupakan sebagai berikut.
x + 3x < 80 ⇔ 4x < 80
Penyelesaian contoh matematika ini adalah 4x < 80 ⇔ x < 20.
Oleh karenanya, batas bilangan pertama nir lebih dari 20, sedangkan sapta ke 2 tidak lebih berdasarkan 60.
Soal Cerita 9 (Pertidaksamaan Kuadrat):
Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang menggunakan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Apabila luasnya tidak kurang berdasarkan 40 dm2, tentukan berukuran minimum permukaan meja tersebut.
Jawab:
Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10 x, dan luas = L. Model matematika berdasarkan luas persegi panjang adalah sebagai berikut.
L = p × l
L = 16x × 10x
L = 160x2
Dari soal ditentukan bahwa luas tidak kurang berdasarkan 40 dm2 = 4.000 cm2 sehinga pertidaksamaannya bisa ditulis sebagai berikut.
L = 160x2≥ 4.000
160x2≥ 4.000
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan tadi, yaitu sebagai berikut.
160x2≥ 4.000
⇒ x2≥ 25
⇒ x ≥ ±5
Karena berukuran besaran tidak boleh negatif, maka nilai minimum x = lima cm, sehingga diperoleh:
p = 16x centimeter = 16(lima) centimeter = 80 cm
l = 10x cm = 10(lima) cm = 50 cm
Jadi, berukuran minimum permukaan meja tadi merupakan (80 × 50) centimeter.
Soal Cerita 10 (Pertidaksamaan Kuadrat):
Sebuah sepeda melaju pada jalan raya dengan persamaan lintasan s(t) = t2– 10t + 39. Apabila x dalam meter serta t pada dtk, tentukan interval saat supaya sepeda itu sudah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter.
Jawab:
Sepeda itu bisa menempuh jeda sekurang-kurangnya 15 meter, ialah s(t) ≥ 15. Jadi, model matematikanya merupakan t2– 10t + 39 ≥ 15. Model ini dapat diselesaikan menggunakan cara menjadi berikut.
t2– 10t + 39 ≥ 15
⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0
⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0
⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0
⇒ t ≤ 4 atau t ≥ 6
Dengan demikian, interval saat agar sepeda itu sudah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter merupakan t ≤ 4 dtk atau t ≥ 6 detik.
