2 Cara Mudah Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Terbaru
Pertidaksamaan x2 + 3x + 1 < 0, 2x2 + 4x – 5 ≥ 0, atau x2– 5x + 4 > 0 adalah model-contoh pertidaksamaan kuadrat. Secara generik, pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan satu variabel berderajat 2, dengan bentuk umum sebagai berikut.
■ax2 + bx + c < 0
■ax2 + bx + c ≤ 0
■ax2 + bx + c > 0
■ax2 + bx + c ≥ 0
Dengan a, b, c sapta real serta a ≠ 0.
Pertidaksamaan kuadrat bisa diselesaikan menggunakan beberapa cara, pada antaranya merupakan sebagai berikut.
Nah, dalam kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai cara memilih himpunan penyelesaian berdasarkan suatu pertidaksamaan kuadrat menggunakan 2 metode pada atas, yaitu sketsa grafik fungsi kuadrat serta garis sapta. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut in. Selamat belajar dan semoga mampu paham.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat menggunakan Grafik Fungsi Kuadrat
Sebuah fungsi kuadrat ditentukan menggunakan rumus f(x) = −x2 + 4x – tiga. Grafik fungsi itu berbentuk parabola menggunakan persamaan y = −x2 + 4x – tiga misalnya yg terlihat pada gambar pada bawah ini.
Pada gambar tersebut tampak bahwa grafik f(x) berada di atas sumbu-X dalam interval 1 < x < tiga serta berada pada bawah sumbu-X pada interval x < 1 atau x > 3, sedangkan grafik tepat memotong sumbu-X dalam x = 1 atau x = tiga. Dengan demikian, kita dapatkan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut.
■Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 < 0 merupakan:
x x < 1 atau x > 3, x ∈ R.
■Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 ≤ 0 adalah:
x x ≤ 1 atau x ≥ 3, x ∈ R.
■Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 > 0 merupakan:
x 1 < x < 3, x ∈ R.
■Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 ≥ 0 adalah:
x 1 ≤ x ≤ tiga, x ∈ R.
Dalam garis sapta, himpunan penyelesaian di atas secara berturut-turut bisa digambarkan sebagai berikut.
Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.
1)
Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0 merupakan interval x, dengan bagian grafik y = ax2 + bx + c berada pada atas sumbu-X
2)
Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c < 0 adalah interval x, dengan bagian grafik y = ax2 + bx + c berada pada bawah sumbu-X
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat menggunakan menggunakan cara grafik fungsi kuadrat, langkah-langkahnya merupakan menjadi berikut.
1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c. Kemudian tentukan perpotongannya dengan sumbu-X (jika ada).
2. Berdasarkan grafik yang diperoleh dalam langkah 1, tentukan interval yg memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.
Contoh Soal:
Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat.
a. X2 + x – dua ≤ 0
b. –x2 + x – 1 > 0
Jawab:
a. Sketsa grafik fungsi kuadrat menggunakan rumus f(x) = x2 + x – 2 ≤ 0 bisa ditunjukkan seperti dalam gambar di bawah ini.
Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu-X merupakan menjadi berikut.
⇒ x2 + x – dua = 0
⇒ (x – 1)(x + 2) = 0
⇒ x = 1 atau x = −2
Jadi, perpotongan menggunakan sumbu-X terletak pada x = 1 atau x = −dua. Oleh karena itu, menurut grafik tadi, himpunan penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan x2 + x – dua ≤ 0 merupakan x −2 ≤ x ≤ 1, x ∈ R.
b. Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = –x2 + x – 1 > 0 diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu-X merupakan menjadi berikut.
⇒–x2 + x – 1 = 0
⇒ x2– x + 1 = 0
⇒ (x – 1)2 = 0
⇒ x = 1
Jadi, grafik menyinggung sumbu-X di (1, 0). Dengan demikian, menurut sketsa grafik fungsi kuadrat tadi, himpunan penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan –x2 + x – 1 > 0 adalah himpunan kosong serta ditulis ∅.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis bilangan
Misalnya kita akan merampungkan pertidaksamaan –x2 + 4x – 3 ≥ 0. Langkah-langkah yg dilakukan adalah menjadi berikut.
■Tentukan produsen nol pada ruas kiri pertidaksamaan (jika ada).
⇒–x2 + 4x – tiga = 0
⇒ (−x + 3)(x – 1) = 0
⇒ x = tiga atau x = 1
■Lukislah nilai-nilai penghasil nol di atas pada sebuah garis bilangan, misalnya tampak pada gambar berikut adalah.
■Ujilah galat satu titik anggota interval, contohnya x = 0 (dipilih yang paling mudah dioperasikan) yaitu menjadi berikut.
⇒ f(x) = –x2 + 4x – 3
⇒ f(0) = –(0)dua + 4(0) – 3 = 0
⇒ f(0) = – 3
Jadi, buat x = 0, diperoleh penyelesaian negatif yaitu – tiga. Kemudian berilah tanda negatif pada garis bilangan. Berilah tanda wilayah interval yg lain dengan catatan setiap melompati pembuat nol pertanda berganti misalnya yang diperlihatkan pada gambar berikut.
■Tentukan interval yang sesuai dengan daerah yang diminta. Karena daerah yang diminta positif (≥ 0) maka himpunan penyelesaiannya dari pertidaksamaan –x2 + 4x – 3 ≥ 0 adalah x 1 ≤ x ≤ tiga, x ∈ R. Sketsanya tampak pada garis bilangan di bawah ini.
