Contoh Soal dan Pembahasan SPKK Sistem Persamaan Kuadrat & Kuadrat Terbaru
Sistem persamaan kuadrat serta kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yg masing-masing memuat 2 variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, namun pada artikel ini kita akan lebih poly membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk biasanya merupakan menjadi berikut.
y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)
y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)
Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan sapta-sapta real.
Secara umum, buat memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang ke 2 atau kebalikannya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.
Langkah 2:
Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.
Langkah 3:
Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah ke 2 ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yg lebih sederhana.
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut serta gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2
y = 2x2– 3x
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yg pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang ke 2 y = 2x2– 3x sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ x2 = 2x2
⇒ 2x2– x2– 3x = 0
⇒ x2– 3x = 0
⇒ x(x – tiga) = 0
⇒ x = 0 atau x = 3
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 serta x = 3 ke bagian kuadrat yg pertama y = x2.
■Untuk x = 0 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (0)2
⇒ y = 0
■Untuk x = 3 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (tiga)2
⇒ y = 9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah (0, 0), (3, 9). Anggota-anggota berdasarkan himpunan penyelesaian SPKK tadi secara geometris dapat ditafsirkan menjadi koordinat titik pangkas antara parabola y = x2 menggunakan parabola y = 2x2– 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar pada bawah ini.
Contoh Soal dua:
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut serta gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2– 1
y = x2– 2x – 3
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yg pertama y = x2– 1 ke bagian kuadrat yg kedua y = x2– 2x – tiga sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ x2– 1 = x2– 2x – 3
⇒ x2– x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2– 1 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ y = x2– 1
⇒ y = (–1)dua– 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah (–1, 0). Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2– 1 serta parabola y = x2– 2x – tiga berpotongan pada satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar pada bawah ini.
Contoh Soal tiga:
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut serta gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = −2x2
y = x2 + 2x + 1
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yg pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang ke 2 y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:
⇒−2x2 = x2 + 2x + 1
⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0
⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real lantaran nilai diskriminannya adalah sapta negatif. Perhatikan perhitungan berikut adalah.
D = b2– 4ac
Dengan a = 3, b = dua dan c = 1 sehingga:
⇒ D = (2)dua– 4(3)(1)
⇒ D = 4 – 12
⇒ D = –8
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis menjadi ∅. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 serta y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan dalam gambar berikut ini.
Contoh Soal 4:
Misalkan diketahui SPKK berikut ini.
y = 3x2 + m
y = x2– 2x – 8
■Tentukan nilai m supaya SPKK tepat mempunyai satu anggota pada himpunan solusinya.
■Tentukan himpunan penyelesaian yg dimaksud itu.
Jawab:
Banyaknya anggota himpunan penyelesaian menurut suatu SPKK dipengaruhi berdasarkan nilai diskriminan, menggunakan kriteria sebagai berikut.
1
Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan pada 2 titik).
2
Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
3
Jika D < 0, SPKK tidak memiliki himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).
Dengan demikian, supaya SPKK tersebut sempurna memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat gabungan wajib sama menggunakan nol. Persamaan kuadrat campuran didapat menggunakan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2– 2x – 8 sehingga diperoleh:
⇒ 3x2 + m = x2– 2x – 8
⇒ 3x2– x2 + 2x + 8 + m = 0
⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0
Dari sini kita peroleh persamaan kuadra adonan, dengan nilai a = 2, b = dua serta c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sebagai akibatnya:
⇒ b2– 4ac = 0
⇒ (2)dua– 4(2)(8 + m) = 0
⇒ 4 – 8(8 + m) = 0
⇒ 4 – 64 – 8m = 0
⇒–60 – 8m = 0
⇒ 8m = –60
⇒ m = –60/8
⇒ m = –15/2
⇒ m = –7,5
Dengan demikian nilai m merupakan –7,5.
Sekarang tambahkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat adonan sebagai akibatnya diperoleh persamaan sebagai berikut.
⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0
⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,lima)) = 0
⇒ 2x2 + 2x + 0,lima = 0
Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2
⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0
Kemudian, kita faktorkan buat memperoleh nilai x
⇒ (2x + 1)dua = 0
⇒ (2x + 1) = 0
⇒ 2x = −1
⇒ x = −1/2
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2– 2x – 8 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2– 2x – 8
⇒ y = (−1/2)2– 2(−1/2) – 8
⇒ y = seperempat + 1 – 8
⇒ y = seperempat–7
⇒ y = −27/4
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tadi adalah (−1/dua, −27/4).
