Contoh Soal dan Pembahasan SPLTV Metode Invers Matriks Terbaru
Dengan memakai metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan linear 3 variabel ini dia.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Penyelesaian:
Pertama, kita untuk nama yg khusus dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu menjadi berikut.
2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)
x + y + z = 6 …….……… Pers. (dua)
x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)
Kemudian, persamaan (1), (dua), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, serta z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.
2
1
−1
x
=
1
1
1
1
y
6
1
−2
1
z
0
Untuk memilih nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
A-1
=
1
adj
a1
b1
c1
a2
b2
c2
det A
a3
b3
c3
Sampai tahap ini, kita wajib menentukan nilai berdasarkan determinan matriks A serta pula adjoin matriks A. Penjelasannya adalah menjadi berikut.
Menentukan determinan matriks A
Dari matriks A tambahkan 2 kolom pada sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen berdasarkan kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen berdasarkan kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi misalnya berikut.
A
=
2
1
−1
2
1
1
1
1
1
1
1
−2
1
1
−2
Dari bentuk matrik pada atas, nilai determinan menurut matriks A merupakan sebagai berikut.
det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]
det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]
det A = 5 – (−4)
det A = 9
Adjoin matriks A
Untuk memilih adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Jadi sebelum bisa memilih adjoin matriks, kita harus memilih dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah menjadi berikut.
kof(A)
=
K11
K12
K13
K21
K22
K23
K31
K32
K33
Kesembilan elemen K tersebut bisa tentukan menggunakan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh menggunakan menutup baris serta kolom pertama matriks A.
M11
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M11
=
1
1
=
[(1)(1)] – [(−2)(1)]
=
3
−2
1
Dengan demikian, nilai menurut K11 merupakan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 (tiga) = 3
K12 = (−1)1 + dua M12
M12 merupakan determinan minor dari matriks A yang diperoleh menggunakan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
M12
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M12
=
1
1
=
[(1)(1)] – [(1)(1)]
=
0
1
1
Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.
K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0
K13 = (−1)1 + tiga M13
M13 adalah determinan minor berdasarkan matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama serta kolom ketiga matriks A.
M13
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M13
=
1
1
=
[(1)(−2)] – [(1)(1)]
=
−3
1
−2
Dengan demikian, nilai menurut K13 adalah sebagai berikut.
K13 = (−1)1 + tiga (−tiga) = −3
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 adalah determinan minor dari matriks A yg diperoleh dengan menutup baris kedua serta kolom pertama matriks A.
M21
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M21
=
1
−1
=
[(1)(1)] – [(−2)(−1)]
=
−1
−2
1
Dengan demikian, nilai dari K21 merupakan menjadi berikut.
K21 = (−1)dua + 1 (−1) = 1
K22 = (−1)2 + dua M22
M22 merupakan determinan minor dari matriks A yg diperoleh menggunakan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
M22
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M22
=
2
−1
=
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
=
3
1
1
Dengan demikian, nilai dari K22 adalah menjadi berikut.
K22 = (−1)2 + dua (tiga) = 3
K23 = (−1)2 + tiga M23
K23 = (−1)2 + tiga M23
M23 adalah determinan minor dari matriks A yg diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
M23
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M23
=
2
1
=
[(2)(−2)] – [(1)(1)]
=
−5
1
−2
Dengan demikian, nilai berdasarkan K23 merupakan menjadi berikut.
K23 = (−1)dua + tiga (−5) = 5
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 merupakan determinan minor menurut matriks A yg diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
M31
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M31
=
1
−1
=
[(1)(1)] – [(1)(−1)]
=
2
1
1
Dengan demikian, nilai menurut K31 adalah menjadi berikut.
K31 = (−1)tiga + 1 (2) = 2
K32 = (−1)3+ dua M32
M32 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
M32
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M32
=
2
−1
=
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
=
3
1
1
Dengan demikian, nilai menurut K32 merupakan sebagai berikut.
K32 = (−1)3 + dua (tiga) = −3
K33 = (−1)tiga+ 3 M33
M33 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yg diperoleh menggunakan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
M33
=
2
1
−1
1
1
1
1
−2
1
M33
=
2
1
=
[(2)(1)] – [(1)(1)]
=
1
1
1
Dengan demikian, nilai berdasarkan K33 merupakan menjadi berikut.
K33 = (−1)tiga + tiga (1) = 1
Sekarang kita kumpulkan seluruh nilai K yang diperoleh menurut perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut.
K11 = 3
K21 = 1
K31 = 2
K12 = 0
K22 = 3
K32 = −3
K13 = −3
K23 = 5
K33 = 1
Dengan demikian, bentuk menurut matriks kofaktor A merupakan menjadi berikut.
kof(A)
=
3
0
−3
1
3
5
2
−3
1
Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks sebagai elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose menurut matriks kofaktor A merupakan sebagai berikut.
[kof(A)]T
=
3
1
2
0
3
−3
−3
5
1
Bentuk transpose menurut matriks kofaktor A adalah matriks adjoin A, sehingga adjoin berdasarkan matriks A merupakan sebagai berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Adj A
=
3
1
2
0
3
−3
−3
5
1
Langkah terakhir adalah memilih nilai x, y, dan z menggunakan membarui bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers misalnya berikut.
AX = B
X = A-1B
x
=
1
adj
2
1
−1
1
y
1
1
1
6
det A
z
1
−2
1
0
x
=
1
3
1
2
1
y
0
3
−3
6
9
z
−3
5
1
0
x
=
3/9
1/9
2/9
1
y
0/9
3/9
−tiga/9
6
z
−tiga/9
5/9
1/9
0
x
=
(tiga/9 × 1) + (1/9 × 6) + (dua/9 × 0)
y
(0/9 × 1) + (3/9 × 6) + (−tiga/9 × 0)
z
(−tiga/9 × 1) + (5/9 × 6) + (1/9 × 0)
x
=
3/9 + 6/9 + 0
y
0 + 18/9 + 0
z
−tiga/9 + 30/9 + 0
x
=
9/9
y
18/9
z
27/9
x
=
1
y
2
z
3
Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = dua serta z = tiga. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah (1, dua, tiga).
Materi
Materi
