Kumpulan Contoh Soal Konjungsi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya Terbaru

Apa Itu Konjungsi?

Konjungsi merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yg dihubungkan menggunakan istilah hubung “serta” dan dilambangkan menggunakan simbol “∧”. Misalkan terdapat 2 butir pernyataan p serta q menjadi berikut.

p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan

q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya

Maka kalimat konjungsi dari dua pernyataan tadi merupakan menjadi berikut.

p ∧ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan dan memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p

q

p ∧ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Keterangan:

B = benar

S = salah

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Diberikan 2 pernyataan ini dia.

p: Mangga merupakan nama butir (sahih)

q: Mangga merupakan butir berbentuk balok (galat)

Tentukan kalimat konjungsi serta nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∧ q: Mangga adalah nama buah dan berbentuk balok, bernilai galat.

2. Kalimat “Unila merupakan universitas negeri dan terletak pada Lampung” bernilai benar. Mengapa demikian?

Jawab:

Kalimat di atas, bisa dipisahkan sebagai 2 misalnya berikut

p: Unila merupakan universitas negeri (sahih)

q: Unila terletak pada Lampung (sahih)

Karena keduanya memiliki nilai kebenaran benar, kesimpulannya niscaya sahih.

3. Tentukan nilai kebenaran berdasarkan setiap konjungsi berikut adalah.

a) 4 + 2 = 6 serta ibukota Jawa Timur merupakan Surabaya.

b) -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

Jawab:

a) Misalkan p: 4 + dua = 6 serta q: ibukota Jawa Timur merupakan Surabaya, maka:

● p: 4 + dua = 6 bernilai benar (B)

●q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai sahih, maka p ∧ q sahih.

b) Misalkan p: -4 adalah bilangan bulat dan q: 4 adalah bilangan prima, maka:

●p: -4 adalah sapta bundar bernilai benar (B)

●q: 4 adalah bilangan prima bernilai galat (S)

Karena p bernilai sahih sedangkan q bernilai salah , maka p ∧ q galat.

4. Carilah nilai-nilai x supaya kalimat berikut sebagai konjungsi yang benar.

1 – x = 2x – lima dan 10 merupakan sapta komposit.

Jawab:

Kalimat “1 – x = 2x – lima dan 10 merupakan bilangan komposit” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 serta pernyataan q: 10 adalah sapta komposit. Pernyataan q bernilai sahih. Agar kalimat tersebut sebagai disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 harus diubah menjadi pernyataan yang sahih (perhatikan tabel nilai kebenaran konjungsi pada baris pertama).

Nilai x yg menyebabkan kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat itu, yaitu menjadi berikut.

⇒ 1 – x = 2x – 5

⇒ 2x + x = 1 + 5

⇒ 3x = 6

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “1 – x = 2x – lima dan 10 adalah bilangan komposit” sebagai konjungsi yg sahih buat nilai x = 2.

5. Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut ini.

a) 2log 8 = tiga dan 23 = 8

b) setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan √4 = ± 2

c) setiap bilangan yang ditulis dengan pertanda akar merupakan bilangan irasional serta √9 = 3

d) x2 – 1 = 0 memiliki akar real dan x2 + 1 = 0 nir mempunyai akar real.

Jawab:

a) Misalkan p: 2log 8 = tiga serta q: 23 = 8, maka

● p: 2log 8 = 3 bernilai sahih (B)

●q: 23 = 8 bernilai sahih (B)

Karena p serta q bernilai sahih, maka p ∧ q sahih.

b) Misalkan p: setiap bentuk akar merupakan bilangan irasional dan q: √4 = ± 2, maka:

●p: setiap bentuk akar adalah sapta irasional bernilai sahih (B)

●q: √4 = ± 2 bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai sahih, maka p ∧ q sahih.

c) Misalkan p: setiap sapta yg ditulis menggunakan indikasi akar merupakan bilangan irasional dan q: √9 = 3, maka:

●p: setiap sapta yg ditulis dengan tanda akar adalah bilangan irasional bernilai galat (S)

●q: √9 = tiga bernilai sahih (B)

karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∧ q galat.

d) Misalkan p: x2 – 1 = 0 memiliki akar real serta q: x2 + 1 = 0 nir mempunyai akar real, maka:

●p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real bernilai sahih (B)

●q: x2 + 1 = 0 nir mempunyai akar real bernilai sahih (B)

karena p dan q bernilai sahih, maka p ∧ q sahih.

6. Misalkan p merupakan pernyataan yang bernilai keliru dan q merupakan pernyataan yang bernilai sahih, tentukan nilai kebenaran berdasarkan tiap pernyataan berikut.

a) ~p

b) ~q

c) p ∧ q

d) ~p ∧ q

e) p ∧ ~q

f) ~p ∧ ~q

Jawab:

Untuk mempermudah memilih nilai kebenaran berdasarkan pernyataan-pernyataan pada atas, maka kita buat pada bentuk tabel berikut adalah.

p

q

~p

~q

p ∧ q

~p ∧ q

p ∧ ~q

~p ∧ ~q

S

B

B

S

S

B

S

S

7. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.

p: √lima + √20 = 3√lima dan q: √5 merupakan sapta rasional

Tulislah pernyataan berdasarkan setiap rumus simbolis ini dia.

a) ~p

b) p ∧ ~q

c) ~p ∧ q

d) q ∧ ~p

e) ~q ∧ p

f) ~q ∧ ~p

Jawab:

a) pernyataan dari ~p merupakan sebagai berikut.

~p: nir benar bahwa  √5 + √20 = tiga√5.

b) pernyataan berdasarkan p ∧ ~q merupakan menjadi berikut.

√lima + √20 = tiga√lima serta √lima bukan sapta rasional.

c) pernyataan berdasarkan ~p ∧ q merupakan menjadi berikut.

Tidak sahih bahwa √5 + √20 = tiga√5 dan √5 adalah sapta rasional.

d) pernyataan berdasarkan q ∧ ~p merupakan menjadi berikut.

√5 adalah bilangan rasional serta nir sahih bahwa √5 + √20 = 3√lima.

e) pernyataan ~q ∧ p merupakan sebagai berikut.

√5 bukan bilangan rasional serta √lima + √20 = 3√5.

8. Carilah nilai x supaya setiap kalimat ini dia menjadi konjungsi yang sahih.

a) 2x – 3 = 5 dan √40 = dua√10

b) 1 – 3x = 2x – 4 serta log 2 + log 3 = log 6

c) 2x = 16 serta 2log 16 = 4

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 2x – tiga = 5 dan pernyataan q: √40 = dua√10. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan menjadi berikut.

⇒√40 = √4 × √10

⇒√40 = 2 × √10

⇒√40 = dua√10

Dengan demikian, pernyataan q bernilai sahih (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) wajib bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.

⇒ 2x – tiga = 5

⇒ 2x = 5 + 3

⇒ 2x = 8

⇒ x = 8/2

⇒ x = 4

Jadi, agar 2x – 3 = lima dan √40 = 2√10 menjadi konjungsi yg sahih, maka nilai x adalah 4.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 1 – 3x = 2x – 4 dan pernyataan q: log dua + log tiga = log 6. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

⇒ log dua + log tiga = log (2 × tiga)

⇒ log dua + log 3 = log 6

Dengan demikian, pernyataan q bernilai sahih (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) wajib bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.

⇒ 1 – 3x = 2x – 4

⇒ 2x + 3x = 1 + 4

⇒ 5x = 5

⇒ x = lima/5

⇒ x = 1

Jadi, agar 1 – 3x = 2x – 4 serta log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x merupakan 1.

c) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 2x = 16 serta pernyataan q: 2log 16 = 4. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

⇒2log 16 = 2log 24 = 4

Dengan demikian, pernyataan q bernilai sahih (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) wajib bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah menjadi berikut.

⇒ 2x = 16

Jadi, agar 1 – 3x = 2x – 4 serta log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x merupakan 1.

9. Diketahui p(x): x2– 5x + 4 = 0 serta q(x): 3 ≤ x ≤ lima dengan x peubah pada himpunan bilangan asli A. Pernyataan p serta q dibentuk menurut p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai x ∈ A. Carilah nilai x sehingga (p ∧ q) bernilai benar.

Jawab:

Himpunan penyelesaian p(x): x2– 5x + 4 = 0 merupakan P = 1, 4

Himpunan penyelesaian q(x): tiga ≤ x ≤ lima merupakan Q = 3, 4, lima

Irisan P dan Q adalah P ∩ Q = 4

(p ∧ q) benar, bila x ∈ P ∩ Q, berarti nilai x = 4.