Kumpulan Soal Cerita Berbentuk SPLTV dan Pembahasannya Lengkap Terbaru
Dalam perhitungan matematika dan pada kehidupan sehari-hari, seringkali suatu perkara dapat diterjemahkan ke pada model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Sistem persamaan yang diperoleh itu dapat berbentuk SPLDV, SPLTV, atau SPLK. Penyelesaian SPLDV, SPLTV, dan SPLK yg sudah dibahas dalam artikel-artikel sebelumnya memegang peranan penting pada pemecahan kasus tersebut.
Langkah pertama yang diharapkan adalah kita harus bisa mengidentifikasi bahwa ciri kasus yg akan diselesaikan berkaitan dengan sistem persamaan (SPLDV, SPLTV, atau SPLK). Setelah masalahnya teridentifikasi, penyelesaian selanjutnya melalui langkah-langkah sebagai berikut.
1.
Nyatakan besaran yang terdapat pada masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.
2.
Rumuskan sistem persamaan yang merupakan contoh matematika berdasarkan masalah.
3.
Tentukan penyelesaian menurut contoh matematika sistem persamaan yang diperoleh pada langkah dua.
4.
Tafsirkan terhadap output yg diperoleh disesuaikan menggunakan perkara semula.
Merancang Model Matematika yg Berbentuk SPLTV
Dalam artikel sebelumnya, telah dibahas cara memecahkan perkara yang berkaitan menggunakan contoh matematika yg berbentuk SPLDV. Nah, pada artikel kali ini akan dijelaskan bagaimana cara memecahkan perkara yg berkaitan dengan model matematika yang berbentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Untuk tujuan itu, simaklah ilustrasi berikut ini.
Soal Ilustrasi:
Ali, Badar, serta Carli berbelanja pada sebuah toko kitab .
Ali membeli 2 butir buku tulis, sebuah pensil, serta sebuah penghapus.
Ali harus membayar Rp4.700.
Badar membeli sebuah kitab tulis, 2 buah pensil, serta sebuah penghapus.
Badar harus membayar Rp4.300
Carli membeli tiga butir kitab tulis, dua buah pensil, serta sebuah penghapus.
Carli harus membayar Rp7.100
Berapa harga buat sebuah kitab tulis, sebuah pensil, serta sebuah penghapus?
Penyelesaian:
■Misalkan bahwa:
Harga untuk sebuah kitab tulis merupakan x rupiah,
Harga buat sebuah pensil adalah y rupiah dan
Harga buat sebuah penghapus adalah z rupiah.
■Dengan demikian, model matematika yg sesuai dnegan data masalah pada atas merupakan menjadi berikut.
2x + y + z = 4.700
x + 2y + z = 4.300
3x + 2y + z = 7.100
yaitu adalah SPLTV dnegan variabel x, y, dan z.
■Penyelesaian SPLTV itu bisa ditentukan menggunakan metode subtitusi, metode eliminasi atau adonan keduanya.
Eliminasi variabel z:
2x + y + z
=
4.700
x + 2y + z
=
4.300
x + 2y + z
=
4.300
−
3x + 2y + z
=
7.00
−
x – y
=
400
−2x
=
−2.800
y
=
2.500
x
=
1.400
■Subtitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, sehingga diperoleh:
⇒ x – y = 400
⇒ 1.400 – y = 400
⇒ y = 1.400 – 400
⇒ y = 1.000
■Subtitusikan nilai x = 1.400 serta y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ 2x + y + z = 4.700
⇒ dua(1.400) + 1.000 + z = 4.700
⇒ 2.800 + 1.000 + z = 4.700
⇒ tiga.800 + z = 4.700
⇒ z = 4.700 – tiga.800
⇒ z = 900
Jadi, harga buat sebuah kitab tulis merupakan Rp1.400, harga buat sebuah pensil merupakan Rp1.000, dan harga buat sebuah penghapus merupakan Rp900.
Nah, agar kalian lebih tahu serta terampil pada memecahkan kasus yang berkaitan menggunakan merancang contoh matematika berbentuk Sistem Persamaan Linier tiga Variabel (SPLTV), silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.
Soal Cerita 1:
Sebuah sapta terdiri atas tiga nomor . Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama serta angka ke 2 sama menggunakan angka ketiga dikurangi 2. Nilai sapta itu sama menggunakan 21 kali jumlah ketiga angkanya lalu ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.
Penyelesaian:
Misalkan sapta itu xyz, x menempati loka ratusan, y menempati tempat puluhan, serta z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data dalam soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.
x + y + z = 16
x + y = z – 2
100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13
Atau sanggup kita ubah sebagai bentuk berikut.
x + y + z = 16
x + y – z = –2
79x – 11y – 20z = 13
Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.
● Dari persamaan 1 serta 2
x + y + z
=
16
x + y – z
=
−2
−
2z
=
18
z
=
9
● Dari persamaan 1 serta 3
x + y + z
=
16
× 11
→
11x + 11y + 11z
=
176
79x – 11y – 20z
=
13
× 1
→
79x – 11y – 20z
=
13
+
90x – 9z
=
189
Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ 90x – 9z = 189
⇒ 90x – 9(9) = 189
⇒ 90x – 81 = 189
⇒ 90x = 189 + 81
⇒ 90x = 270
⇒ x = 3
Subtitusikan nilai x = tiga serta z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ x + y + z = 16
⇒ 3 + y + 9 = 16
⇒ y + 12 = 16
⇒ y = 16 – 12
⇒ y = 4
Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 serta z = 9 maka bilangan itu merupakan 349.
Soal Cerita 2:
Sebuah kios menjual beragam butir pada antaranya jeruk, salak, serta apel. Seseorang yg membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan dua kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yg membeli dua kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel wajib membayar Rp23.500,00. Orang yg membeli 1 kg jeruk, dua kg salak, dan tiga kg apel wajib membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?
Penyelesaian:
Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan masalah pada atas, diperoleh sistem persamaan linear 3 variabel berikut.
x + 3y + 2z = 33.000
2x + y + z = 23.500
x + 2y + 3z = 36.500
Untuk menuntaskan SPLTV tadi, kita akan menggunakan metode campuran yaitu menjadi berikut.
● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2
x + 3y + 2z
=
33.000
× 2
→
2x + 6y + 4z
=
66.000
2x + y + z
=
23.500
× 1
→
2x + y + z
=
23.500
−
5y + 3z
=
42.500
● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 serta 3
x + 3y + 2z
=
33.000
x + 2y + 3z
=
36.500
−
y – z
=
−3.500
y
=
z – 3.500
Subtitusikan y = z – tiga.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ 5y + 3z = 42.500
⇒ lima(z – 3.500) + 3z = 42.500
⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500
⇒ 8z – 17.500 = 42.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 60.000
⇒ z = 7.500
Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – tiga.500 sebagai akibatnya diperoleh nilai y menjadi berikut.
⇒ y = z – 3.500
⇒ y = 7.500 – 3.500
⇒ y = 4.000
Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 serta nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sebagai akibatnya diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x + 3y + 2z = 33.000
⇒ x + tiga(4.000) + dua(7.500) = 33.000
⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000
⇒ x + 27.000 = 33.000
⇒ x = 33.000 – 27.000
⇒ x = 6.000
Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak merupakan Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel merupakan Rp7.500,00.
Soal Cerita 3:
Diketahui tiga sapta a, b, serta c. Rata-homogen menurut ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah sapta lainnya. Bilangan ketiga sama menggunakan jumlah sapta yang lain dikurang empat. Carilah sapta-sapta itu.
Penyelesaian:
Ketiga sapta merupakan a, b, serta c. Ketentuan soal merupakan sebagai berikut:
■Rata-homogen ketiga sapta sama menggunakan 16 berarti:
(a + b + c)/3 = 16
Apabila ke 2 ruas kita kalikan tiga maka:
a + b + c = 48
■Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:
b + 20 = a + c
atau bisa kita tuliskan menjadi berikut.
a – b + c = 20
■Bilangan ketiga sama dengan jumlah sapta lain dikurang 4 berarti:
c = a + b – 4
atau bisa kita tuliskan menjadi berikut.
a + b – c = 4
Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
a + b + c = 48
a – b + c = 20
a + b – c = 4
Untuk menuntaskan SPLTV tadi, kita akan menggunakan metode campuran yaitu menjadi berikut.
● Eliminasi variabel a dalam persamaan 1 serta 2
a + b + c
=
48
a – b + c
=
20
−
2b
=
28
b
=
14
● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 serta 3
a + b + c
=
48
a + b – c
=
4
−
2c
=
44
c
=
22
Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu menjadi berikut.
⇒ a + b – c = 4
⇒ a + 14 – 22 = 4
⇒ a – 8 = 4
⇒ a = 4 + 8
⇒ a = 12
Jadi, ketiga bilangan tadi berturut-turut adalah 12, 14, serta 22.
Soal Cerita 4:
Suatu bilangan terdiri atas 3 nomor . Jumlah ketiga angka itu sama menggunakan 9. Nilai sapta itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi nomor ke 2 serta nomor pertama sama menggunakan 3. Carilah sapta itu.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, menggunakan a menempati loka ratusan, b menempati loka puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal merupakan menjadi berikut.
■Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:
a + b + c = 9
■Nilai bilangan itu sama menggunakan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:
100a + 10b + c = 14(a + b + c)
100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c
100a – 14a + 10b – 14b + c – 14c = 0
86a – 4b – 13c = 0
■Angka ketiga dikurangi angka ke 2 serta nomor pertama sama menggunakan tiga berarti:
c – b – a = 3
atau mampu kita tulis sebagai berikut
a + b – c = −3
Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
a + b + c = 9
86a – 4b – 13c = 0
a + b – c = −3
Untuk menuntaskan SPLTV tadi, kita akan menggunakan metode gabungan yaitu menjadi berikut.
● Eliminasi variabel b dalam persamaan 1 dan 2
a + b + c
=
9
× 4
→
4a + 4b + 4c
=
36
86a – 4b – 13c
=
0
× 1
→
86a – 4b – 13c
=
0
+
90a – 9c
=
36
10a – c
=
4
● Eliminasi variabel b dalam persamaan 1 serta 3
a + b + c
=
9
a + b – c
=
−3
−
2c
=
12
c
=
6
Subtitusikan nilai c = 6 ke persamaan 10a – c = 4 sebagai akibatnya diperoleh nilai a menjadi berikut.
⇒ 10a – c = 4
⇒ 10a – 6 = 4
⇒ 10a = 4 + 6
⇒ 10a = 10
⇒ a = 1
Terakhir subtitusikan nilai a = 1 serta c = 6 ke persamaan a + b + c = 9 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.
⇒ a + b + c = 9
⇒ 1 + b + 6 = 9
⇒ b + 7 = 9
⇒ b = 9 – 7
⇒ b = 3
Karena nilai a = 1, b = 3 dan c = 6 maka bilangan tadi adalah 126.
Soal Cerita 5:
Bentuk kuadrat px2 + qx + r memiliki nilai 1 buat x = 0, memiliki nilai 6 buat x = 1 serta memiliki nilai 2 buat x = −1. Carilah nilai p, q, dan r.
Penyelesaian:
Fungsi kuadrat pada x dituliskan sebagai berikut.
f(x) = px2 + qx + r
■Untuk nilai x = 0 maka f(x) = 1 maka:
f(0) = p(0)dua + q(0) + r
1 = r
■Untuk nilai x = 1 maka f(x) = 6 maka:
f(1) = p(1)2 + q(1) + r
6 = p + q + r
Masukkan nilai r = 1 ke persamaan 6 = p + q = r sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ 6 = p + q + r
⇒ 6 = p + q + 1
⇒ p + q = 5
⇒ p = 5 – q
■Untuk nilai x = −1 maka f(x) = 2 maka:
f(0) = p(−1)2 + q(−1) + r
2 = p – q + r
Subtitusikan persamaan nilai r = 1 dan persamaan p = 5 – q ke persamaan dua = p – q + r sehingga diperoleh:
⇒ dua = p – q + r
⇒ dua = (lima – q) – q + 1
⇒ 2 = 6 – 2q
⇒ 2q = 6 – 2
⇒ 2q = 4
⇒ q = 2
Terakhir, subtitusikan nilai q = dua serta nilai r = 1 ke persamaan dua = p – q + r sebagai akibatnya kita peroleh nilai p menjadi berikut.
⇒ dua = p – q + r
⇒ dua = p – dua + 1
⇒ 2 = p – 1
⇒ p = 2 + 1
⇒ p = 3
Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut merupakan tiga, 2, serta 1.
