Menentukan Jenis dan Sifat Akar Persamaan Kuadrat dengan Diskriminan Terbaru

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai cara memilih jenis dan sifat akar persamaan kuadrat (PK). Jenis akar yang dimaksud disini merupakan apakah akar persamaan kuadrat merupakan bilangan real (sama atau berlainan), sapta imajiner, bilangan irasional ataukah bilangan rasional. Sedangkan sifat akar yg dimaksudkan merupakan apakah akar-akar persamaan kuadrat adalah sapta positif, bilangan negatif, sapta-bilangan yang sama besar ataukah sapta-bilangan yang berkebalikan.

Namun sebelum itu, kalian tentunya harus tahu dahulu bagaimana bentuk persamaan kuadrat itu. Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum menjadi berikut.

ax2 + bx + c = 0

dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Bentuk persamaan kuadrat di atas memiliki paling banyak dua akar real. Maksudnya, mampu saja akarnya hanya satu bilangan real atau tidak memiliki akar sapta real sama sekali. Jenis dan sifat akar persamaan kuadrat ternyata bisa diketahui tanpa wajib menentukan akar-akarnya terlebih dahulu. Lalu bagaimana caranya? Perhatikan penjelasan berikut adalah.

Cara Menentukan Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Masih ingatkah kalian tentang cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan rumus ABC? Suatu persamaan kuadrat yg berbentuk ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), akar-akarnya bisa dicari menggunakan memakai rumus ABC atau rumus kuadrat, yaitu menjadi berikut.

x1,2

=

–b ± √

b2– 4ac

2a

Dari rumus pada atas, tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi sang nilai b2– 4ac. Bentuk b2– 4ac ini disebut diskriminan berdasarkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 serta dilambangkan dengan alfabet D, sebagai akibatnya D = b2– 4ac. Kenapa dinamakan diskriminan? Karena nilai D = b2– 4ac inilah yang membedakan (mendiskriminasi) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.

Untuk meninjau atau mempelajari interaksi antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b2– 4ac, silahkan kalian simak uraian berikut ini.

#1 Persamaan kuadrat x2– 6x + 8 = 0, apabila diselesaikan memakai rumus ABC maka mempunyai akar-akar x1 = dua dan x2 = 4. (tidak percaya? Silahkan kalian buktikan sendiri). Akar-akar tadi adalah bilangan real yg berlainan serta rasional (terukur). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2– 6x + 8 = 0 merupakan a = 1, b = -6 dan c = 8, sebagai akibatnya nilai diskriminannya adalah sebagai berikut.

D = b2– 4ac

D = (-6)2– 4(1)(8)

D= 36 – 32

D = 4

D = 22

Ternyata bahwa:

D > 0 serta D = 22 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

#dua Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + lima = 0, jika diselesaikan dengan menggunakan rumus ABC ternyata nir mempunyai akar real atau ke 2 akar nir real (imajiner). Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 5 = 0 adalah a = 2, b = 3 serta c = 5, sehingga nilai diskriminannya adalah.

D = b2– 4ac

D = (3)dua– 4(2)(5)

D = 9 – 40

D = -31

Ternyata bahwa:

D < 0

Meskipun bukan adalah sebuah bukti, tetai 2 kabar di atas menampakan berlakunya sebuah sifat yang menghubungkan keterkaitan antara jenis akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya. Secara generik, hubungan antara nilai diskriminan dengan jenis akar persamaan kuadrat tersaji pada tabel berikut adalah.

Nilai Diskriminan

Jenis Akar Persamaan Kuadrat

D > 0

Dua akar real yg berbeda

Jika D berbentuk kuadrat sempurna

Kedua akarnya rasional

Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna

Kedua akarnya irasional

D = 0

Dua akar yang sama (kembar), real serta rasional

D < 0

Tidak memiliki akar real atau kedua akar tidak real (imajiner)

Cara Menentukan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Seperti yg telah dijelaskan pada awal tersebut, sifat yang dimaksud pada akar persamaan kuadrat adalah akar positif, negatif, tidak sinkron pertanda, antagonis atau berkebalikan. Untuk melihat sifat akar, selain memakai nilai diskriminan (D), kita jua harus mencari hasil penjumlahan dan output perkalian akar-akar persamaan kuadrat. Adapun rumus yang dipakai buat memilih sifat akar selain diskriminan adalah menjadi berikut.

x1 + x2

=

−b

a

x1 . X2

=

c

a

Sifat akar-akar persamaan kuadrat menurut nilai diskriminan serta jua hasil penjumlahan dan perkalian akar-akarnya sanggup kalian lihat pada tabel di bawah ini.

Nilai D, −b/a serta c/a

Sifat Akar Persamaan Kuadrat

D ≥ 0

Dua akar positif (x1 > 0 serta x2 > 0)

−b/a> 0

c/a > 0

D ≥ 0

Dua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0)

−b/a< 0

c/a > 0

c/a < 0

Dua akar tidak sama indikasi (salah satu akar negatif)

b = 0 atau persamaan kuadrat berbentuk ax2 + c = 0

Dua akar sama akbar serta antagonis tanda (x1 = −x2)

a = c

Dua akar berkebalikan (x1 = 1/x2)

Contoh Soal dan Pembahasan

Tanpa wajib menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukan jenis dan sifat akar persamaan kuadrat ini dia.

a) 2x2– 7x + 6 = 0

b) 3x2 + 7x + tiga = 0

c) 4x2– 2x + ¼ = 0

d) x2– 6x + 12 = 0

Jawab :

a) 2x2– 7x + 6 = 0

Persamaan kuadrat 2x2– 7x + 6 = 0 mempunyai nilai a = dua, b = -7 dan c = 6

Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan menjadi berikut

D = b2– 4ac

D = (-7)dua– 4(2)(6)

D = 49 – 48

D = 1

Karena D = 1 > 0 serta D = 1 = (1)dua berbentuk kuadrat paripurna, maka persamaan kuadrat 2x2– 7x + 6 = 0 mempunyai 2 akar real yang berlainan dan rasional.

Sifat Akar: ditentukan menggunakan nilai D, -b/a dan c/a

D > 0

-b/a = -(-7)/2 = 7/dua > 0

c/a = 6/dua = 3 > 0

karena D > 0, -b/a > 0 serta c/a > 0, maka akar persamaan kuadrat 2x2– 7x + 6 = 0 merupakan 2 bilangan positif.

b) 3x2 + 7x + tiga = 0

Persamaan kuadrat 3x2 + 7x + tiga = 0 mempunyai nilai a = tiga, b = 7 serta c = 3

Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan menjadi berikut

D = b2– 4ac

D = (7)2– 4(tiga)(3)

D = 49 – 36

D = 13

Karena D = 13 > 0 serta D = 13 nir berbentuk kuadrat paripurna, maka persamaan kuadrat 2x2– 7x + 6 = 0 mempunyai dua akar real yg berlainan serta irasional.

Sifat Akar: karena a = c = 3 maka persamaan kuadrat 3x2 + 7x + 3 = 0 memiliki dua akar yg berkebalikan

c) 4x2– 2x + ¼ = 0

Persamaan kuadrat 4x2– 2x + ¼ = 0 memiliki nilai a = 4, b = -dua dan c = ¼

Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan menjadi berikut

D = b2– 4ac

D = (-dua)2– 4(4)(¼)

D = 4 – 4

D = 0

Karena D = 0, maka persamaan kuadrat 4x2– 2x + ¼ = 0 mempunyai dua akar yg sama (akar kembar), real serta rasional

Sifat Akar: dipengaruhi dengan nilai -b/a serta c/a

-b/a = -(-dua)/4 = dua/4 = 1/2 > 0

c/a = ¼/4 = 1/16 > 0

karena -b/a > 0 dan c/a > 0, maka akar persamaan kuadrat 2x2– 7x + 6 = 0 merupakan 2 sapta positif kembar.

d) x2– 6x + 12 = 0

Persamaan kuadrat x2– 6x + 12 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -6 dan c = 12

Jenis Akar: ditentukan dengan nilai diskriminan menjadi berikut

D = b2– 4ac

D = (-6)2– 4(1)(12)

D = 36 – 48

D = -12

Karena D = -12 < 0, maka persamaan kuadrat x2– 6x + 12 = 0 tidak memiliki akar real atau kedua akarnya merupakan sapta imajiner.

Sifat Akar: lantaran jenis akar persamaan kuadrat x2– 6x + 12 merupakan bilangan imajiner, kita tidak perlu memilih sifat akar dari persamaan kuadrat tadi.

Demikianlah artikel mengenai cara menentukan jenis dan sifat akar-akar persamaan kuadrat menggunakan memakai nilai diskriminan lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Semoga bisa bermanfaat buat Anda. Jika masih ada kesalahan pertanda, simbol, alfabet juga angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya serta sampai jumpa pada artikel berikutnya.