Rumus Jumlah Selisih dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat Terbaru
Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara memilih jumlah, selisih serta hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk memilih jumlah, selisih dan output kali akar persamaan kuadrat, kita nir perlu repot-repot mencarai akar-akarnya terlebih dahulu. Kita relatif melihat koefisien-koefisien persamaannya saja. Tentu kalian masih jangan lupa bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) dipengaruhi menggunakan rumus kuadrat atau rumus ABC sebagai berikut.
x1
=
–b + √
b2– 4ac
atau
x2
=
–b −√
b2– 4ac
2a
2a
Berdasarkan rumus pada atas, kita dapat menyebarkan rumus jumlah akar-akar (x1 + x2), rumus selisih akar-akar (x1– x2) dan rumus output kali akar-akar (x1 × x2) berdasarkan persamaan kuadrat yg berbentuk ax2 + bx + c = 0 yg dinyatakan pada koefisien-koefisien a, b serta c. Lalu misalnya apa rumus-rumus tersebut? Perhatikan penurunan rumus ini dia.
Penurunan Rumus Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat
x1 + x2
=
–b + √
b2– 4ac
+
–b −√
b2– 4ac
2a
2a
x1 + x2
=
–2b
2a
x1 + x2
=
–b
a
Dengan demikian, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat merupakan menjadi berikut.
x1 + x2 = –b/a
Penurunan Rumus Selisih Akar-Akar Persamaan Kuadrat
x1− x2
=
–b + √
b2– 4ac
−
–b −√
b2– 4ac
2a
2a
x1− x2
=
2 √
b2– 4ac
2a
x1− x2
=
√
b2– 4ac
a
Karena b2– 4ac = D (diskriminan), maka rumus di atas dapat kita tulis ulang menjadi menjadi berikut.
x1− x2
=
±√
D
a
Dengan demikian, rumus selisih akar-akar persamaan kuadrat merupakan sebagai berikut.
x1− x2 = ±√D/a
Penurunan Rumus Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
x1 × x2
=
–b + √
b2– 4ac
×
–b −√
b2– 4ac
2a
2a
x1 × x2
=
(–b)2
−
(
√
b2– 4ac
)2
(2a)2
x1 × x2
=
b2– (b2– 4ac)
4a2
x1 × x2
=
4ac
4a2
x1 × x2
=
c
a
Dengan demikian, rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat merupakan menjadi berikut.
x1 × x2 = c/a
Ketiga rumus telah kita dapatkan sehingga kita bisa memilih jumlah, selisih serta output kali akar-akar suatu persamaan kuadrat secara gampang. Tetapi, pada soal kadang-kadang tidak pribadi ditanyakan jumlah, selisih serta hasil kali akar-akar persamaan kuadrat namun pada bentuk lainnya. Misalkan jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat atau penjumlahan menurut kebalikan akar-akarnya.
Cara gampang untuk menyelesaikannya merupakan menggunakan menciptakan bentuk yg ditanyakan ke pada bentuk penjumlahan, selisih dan output kali akar-akarnya. Berikut ini akan penulis paparkan tentang beberapa bentuk yg acapkali keluar pada soal.
#1 Bentuk 1/x1 + 1/x2
Bentuk 1/x1 + 1/x2 adalah bentuk pecahan yang bisa menggunakan gampang kita sederhanakan seperti menyederhanakan pecahan biasa.
⇔1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1x2)
Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan pada atas.
1/x1 + 1/x2 = (–b/a)/( c/a)
#2 Bentuk x12 + x22
Untuk bentuk jumlah akar-akar berpangkat 2, penyelesaiannya masih sederhana. Konsepnya merupakan kita pangkatkan jumlah akar, lalu kita kurangkan dengan bagian-bagian yg nir dibutuhkan.
x12 + x22
Bentuk tersebut dapat kita ubah dengan cara menjadi berikut.
⇔ (x1 + x2)2 = x12 + x22 + 2x1x2
⇔x12 + x22 = (x1 + x2)dua− 2x1x2
Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan pada atas.
⇔ x12 + x22 = (–b/a)dua– 2(c/a)
Dengan demikian, rumus jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat dapat dipengaruhi dengan rumus sebagai berikut.
x12 + x22 = (–b/a)dua– dua(c/a)
#tiga Bentuk x12− x22
Bentuk x12− x22 dapat dengan gampang diubah menjadi bentuk perjumlahan dan selisih akar-akar sebagai berikut.
x12− x22
⇔ x12− x22 = (x1 + x2)(x1– x2)
Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1− x2 = √D/a ke persamaan pada atas.
⇔ x12− x22 = (–b/a)( ±√D/a)
Dengan demikian, rumus selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat bisa ditentukan menggunakan rumus sebagai berikut.
x12− x22 = (–b/a)( ±√D/a)
#4 Bentuk x1/x2 + x2/x1
Seperti bentuk 1 pada atas, bentuk 4 kali ini pula dapat diubah misalnya menyederhanakan bentuk pecahan biasa menjadi berikut.
⇔x1/x2 + x2/x1 = (x12 + x22)/x1x2
subtitusikan bentuk x12 + x22 = (x1 + x2)2− 2x1x2 ke persamaan di atas.
⇔x1/x2 + x2/x1 = [(x1 + x2)2− 2x1x2]/x1x2
Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan pada atas.
⇔x1/x2 + x2/x1 = [(–b/a)2– 2(c/a)]/( c/a)
#lima Bentuk x13 + x23
Gunakan cara yg sama seperti pada bentuk 1 pada atas, yaitu menjadi berikut
x13 + x23
⇔ (x1 + x2)3 = x13 + 2x12x2 + x1x22 + x12x2 + 2x1x22 + x23
⇔(x1 + x2)tiga = x13 + x23 + 3x12x2 + 3x1x22
⇔x13 + x23 = (x1 + x2)tiga− 3x12x2 − 3x1x22
⇔x13 + x23 = (x1 + x2)3− 3x1x2(x1 + x2)
⇔x13 + x23 = (x1 + x2)3− 3x1x2(x1 + x2)
⇔x13 + x23 = (–b/a)3– tiga(c/a)(–b/a)
Dengan demikian, rumus jumlah pangkat 3 akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus menjadi berikut.
x13 + x23 = (–b/a)3– tiga(c/a)(–b/a)
#6 Bentuk x13− x23
Gunakan cara yg sama misalnya pada bentuk 3 pada atas, yaitu menjadi berikut
x13− x23
⇔ (x1− x2)3 = x13− 2x12x2 + x1x22− x12x2 + 2x1x22− x23
⇔ (x1− x2)tiga = x13− x23− 3x12x2 + 3x1x22
⇔x13− x23 = (x1− x2)tiga + 3x12x2− 3x1x22
⇔x13− x23 = (x1− x2)3 + 3x1x2(x1− x2)
⇔x13− x23 = (±√D/a)3 + tiga(c/a)(±√D/a)
Dengan demikian, rumus selisih pangkat 3 akar-akar persamaan kuadrat dapat dipengaruhi dengan rumus menjadi berikut.
x13− x23 = (±√D/a)tiga + tiga(c/a)(±√D/a)
#7 Bentuk x14 + x24
Bentuk 7 bisa diubah dengan cara menguadratkan bentuk dua pada atas, perhatikan langkah ini dia.
⇔ (x12 + x22)2 = x14 + 2x12x22 + x24
⇔ (x12 + x22)2 = x14 + x24 + 2x12x22
⇔x14 + x24 = (x12 + x22)dua− 2x12x22
Kemudian subtitusikan nilai x12 + x22 = (x1 + x2)dua− 2x1x2 ke persamaan pada atas
⇔x14 + x24 = [(x1 + x2)2− 2x1x2]2− 2x12x22
⇔x14 + x24 = [(x1 + x2)2− 2x1x2]dua– dua(x1x2)2
⇔x14 + x24 = [(–b/a)2– 2(c/a)]2– 2(c/a)2
#8 Bentuk x14− x24
Bentuk 8 dapat kita ubah dengan cara yg sama seperti membarui bentuk tiga, menjadi berikut.
⇔x14− x24 = (x12 + x22)(x12− x22)
⇔x14− x24 = (x12 + x22)(x12− x22)
Subtitusikan nilai x12 + x22 = (x1 + x2)2− 2x1x2 dan nilai x12− x22 = (x1 + x2)(x1– x2) ke persamaan pada atas.
⇔x14− x24 = [(x1 + x2)2− 2x1x2][(x1 + x2)(x1– x2)]
⇔x14− x24 = [(–b/a)2– 2(c/a)][(–b/a)(±√D/a)]
