Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Eliminasi Terbaru
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara, di antaranya merupakan dengan memakai:
Nah, dalam kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara memilih himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan memakai metode eliminasi. Adapun langkah-langkah buat menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah menjadi berikut.
Langkah 1:
Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.
Langkah 2:
Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal x) sebagai akibatnya diperoleh SPLDV.
Langkah 3:
Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai keliru satu peubah.
Langkah 4:
Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) buat memperoleh nilai peubah yg kedua.
Langkah lima:
Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) menurut nilai (y serta z) yg diperoleh.
Supaya kalian lebih tahu bagaimana caranya memilih himpunan penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal serta pembahasannya ini dia.
Contoh Soal 1
Carilah himpunan penyelesaian berdasarkan tiap SPLTV berikut dengan menggunakan metode eliminasi.
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yg akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya gampang, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan pada atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z berdasarkan ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka eksklusif saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama menggunakan persamaan ke 2 serta persamaan kedua menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai peubah z hilang. Prosesnya seperti pada bawah ini.
■Dari persamaan pertama dan ke 2:
2x – y + z
=
6
x – 3y + z
=
–2
−
x + 2y
=
8
■Dari persamaan kedua dan ketiga:
x – 3y + z
=
–2
x + 2y – z
=
3
+
2x – y
=
1
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
x + 2y = 8
2x – y = 1
Langkah selanjutnya merupakan kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x menggunakan mengeliminasi y. Untuk bisa mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y berdasarkan kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien y = 2
2x – y = 1 → koefisien y = –1
Agar ke 2 koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali menggunakan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali menggunakan dua. Setelah itu, ke 2 persamaan kita jumlahkan. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
x + 2y
=
8
× 1
→
x + 2y
=
8
2x – y
=
1
× 2
→
4x – 2y
=
2
+
5x
=
10
x
=
2
Kedua, kita tentukan nilai y menggunakan mengeliminasi x. Untuk dapat mengeliminasi peubah x, maka kita juga harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien x = 1
2x – y = 1 → koefisien x = 2
Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, ke 2 persamaan kita selisihkan. Prosesnya merupakan sebagai berikut.
x + 2y
=
8
× 2
→
2x + 4y
=
16
2x – y
=
1
× 1
→
2x – y
=
1
−
5y
=
15
y
=
3
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = 2 serta y = tiga. Langkah terakhir, buat menerima nilai z, kita subtitusikan nilai x serta y tersebut ke dalam galat satu SPLTV, misalnya persamaan 2x – y + z = 6 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ dua(dua) – tiga + z = 6
⇒ 4 – 3 + z = 6
⇒ 1 + z = 6
⇒ z = 6 – 1
⇒ z = 5
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 2, y = tiga dan z = lima sebagai akibatnya himpunan penyelesaian SPLTV pada atas merupakan (2, tiga, lima).
Contoh Soal 2
Dengan memakai metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 3 variabel ini dia.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV pada atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penerangan berikut.
x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1
2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2
x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1
Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama serta persamaan ketiga dengan dua sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah menjadi berikut.
x + 3y + 2z
=
16
× 2
→
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y – 2z
=
12
× 1
→
2x + 4y – 2z
=
12
x + y + 4z
=
20
× 2
→
2x + 2y + 8z
=
40
Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka pribadi saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti pada bawah ini.
■Dari persamaan pertama dan ke 2:
2x + 6y + 4z
=
32
2x + 4y – 2z
=
12
−
2y + 6z
=
20
■Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 4y – 2z
=
12
2x + 2y + 8z
=
40
−
2y – 10z
=
–28
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
2y + 6z = 20
2y – 10z = –28
Langkah selanjutnya merupakan kita selesaikan SPLDV di atas menggunakan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk bisa mengeliminasi variabel z, maka kita wajib menyamakan koefisien z berdasarkan ke 2 persamaan. Perhatikan penerangan berikut.
2y + 6z = 20 → koefisien z = 6
2y – 10z = –28 → koefisien z = –10
Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan lima sedangkan persamaan kedua kita kali dengan tiga. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah menjadi berikut.
2y + 6z
=
20
× 5
→
10y + 30z
=
100
2y – 10z
=
–28
× 3
→
6y – 30z
=
–84
+
16y
=
16
y
=
1
Kedua, kita tentukan nilai z menggunakan mengeliminasi y. Untuk bisa mengeliminasi variabel y, maka kita pula wajib menyamakan koefisien y menurut ke 2 persamaan. Berhubung koefisien y ke 2 persamaan telah sama, maka kita sanggup eksklusif mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah menjadi berikut.
2y + 6z
=
20
2y – 10z
=
–28
−
16z
=
48
z
=
3
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 serta z = 3. Langkah terakhir, buat mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y serta z tadi ke dalam keliru satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(tiga) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV pada atas merupakan (7, 1, tiga).
