Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Determinan Terbaru
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan persamaan yg mengandung tiga variabel/peubah menggunakan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk generik atau bentuk baku dari SPLTV adalah menjadi berikut.
ax + by + cz = d
atau
a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h
a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 adalah sapta-sapta real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien menurut x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien berdasarkan y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien berdasarkan z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 3 variabel atau disingkat SPLTV bisa dicari dengan beberapa cara, pada antaranya merupakan menggunakan memakai:
Nah, dalam kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan memakai metode determinan. Namun sebelum itu, tahukah kalian apa itu metode determinan? Apabila belum memahami, silahkan kalian simak baik-baik penerangan berikut ini. Selamat belajar.
Metode determinan tak jarang juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu sapta yg berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat juga dipakai buat mencari penyelesaian sistem persamaan linear baik 2 variabel (SPLDV) juga tiga variabel (SPLTV).
Langkah-langkah buat menentukan himpunan penyelesaian SPLTV menggunakan metode determinan adalah menjadi berikut.
■Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear 3 variabel ke pada bentuk matriks, yaitu menjadi berikut.
Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
persamaan pada atas kita ubah menjadi bentuk berikut
A . X = B …………… Pers. (1)
Dengan:
A
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
X
=
x
y
z
B
=
d1
d2
d3
Sehingga persamaan 1 pada atas sebagai bentuk matriks berikut.
a1
b1
c1
x
=
d1
a2
b2
c2
y
d2
a3
b3
c3
z
d3
■Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.
D
=
a1
b1
c1
a1
b1
=
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
D merupakan determinan dari matriks A.
Dx
=
d1
b1
c1
d1
b1
=
(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
d2
b2
c2
d2
b2
d3
b3
c3
d3
b3
Dx merupakan determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dy
=
a1
d1
c1
a1
d1
=
(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
a2
d2
c2
a2
d2
a3
d3
c3
a3
d3
Dy merupakan determinan menurut matriks A yg kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dz
=
a1
b1
d1
a1
b1
=
(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
a2
b2
d2
a2
b2
a3
b3
d3
a3
b3
Dz merupakan determinan menurut matriks A yg kolom ketiga diganti menggunakan elemen-elemen matriks B.
■Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y menggunakan persamaan berikut.
x
=
Dx
D
y
=
Dy
D
z
=
Dz
D
Supaya kalian tidak resah pada menerapkan rumus-rumus di atas, silahkan simak model soal dan pembahasannya berikut adalah.
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan pada soal ke bentuk matriks berikut.
2
1
1
x
=
12
1
2
−1
y
3
3
−1
1
z
11
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy serta Dz dengan ketentuan misalnya dalam langkah-langkah pada atas.
■Menentukan nilai D
D
=
2
1
1
2
1
1
2
−1
1
2
3
−1
1
3
−1
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■Menentukan nilai Dx
Dx
=
12
1
1
12
1
3
2
−1
3
2
11
−1
1
11
−1
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■Menentukan nilai Dy
Dy
=
2
12
1
2
12
1
3
−1
1
3
3
11
1
3
11
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■Menentukan nilai Dz
Dz
=
2
1
12
2
1
1
2
3
1
2
3
−1
11
3
−1
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, serta Dz kita peroleh, langkah terakhir merupakan menentukan nilai x, y, serta z menggunakan rumus berikut ini.
x
=
Dx
=
−27
=
3
D
−9
y
=
Dy
=
−18
=
2
D
−9
z
=
Dz
=
−36
=
4
D
−9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah HP = (3, dua, 4).
