Cara Mudah Menentukan Penyelesaian SPLTV Bentuk Pecahan Terbaru
Sistem persamaan linear 3 variabel atau disingkat SPLTV merupakan suatu persamaan matematika yg terdiri atas 3 persamaan linear berderajat satu yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, serta z bisa ditulis menjadi berikut:
ax + by + cz = d
atau
a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h
a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, serta l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan sapta-sapta real.
Keterangan:
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien berdasarkan x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Namun pada soal-soal matematika yang herbi sistem persamaan linear tiga variabel terkadang kita menemui SPLTV yg berbentuk pecahan misalnya sistem persamaan linear ini dia.
x
−
y
−
z
=
1
2
4
x
−
y
+
z
=
−1
3
2
−x
+
y
−
z
=
4
2
4
3
3
Lalu bagaimana menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tersebut? Caranya sangat gampang sekali, yaitu kita hanya perlu mengganti SPLTV pecahan menjadi bentuk baku atau bentuk generik misalnya yg sudah disebutkan pada awal artikel. Setelah bentuk baku diperoleh, selanjutnya kita selesaiakan dengan memakai salah satu berdasarkan metode-metode berikut adalah.
Sebagai model, kita akan menentukan himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan linear 3 variabel yg berbentuk pecahan ini dia.
x
−
y
−
z
=
1
2
4
x
−
y
+
z
=
−1
3
2
−x
+
y
−
z
=
4
2
4
3
3
Langkah-langkahnya adalah menjadi berikut.
■Ubah persamaan yg memuat pecahan sebagai bentuk baku. Caranya adalah menggunakan mengalikan ke 2 ruas dengan KPK menurut penyebut-penyebut pecahannya yaitu menjadi berikut.
Persamaan 1
x
−
y
−
z
=
1
2
4
KPK berdasarkan 1, dua serta 4 merupakan 4, sang karenanya, supaya menjadi bentuk standar, kita kalikan ke 2 ruas menggunakan angka 4 sebagai akibatnya hasilnya merupakan sebagai berikut.
4x – 2y – z = 4
Persamaan 2
x
−
y
+
z
=
−1
3
2
KPK menurut tiga, 1, dan dua adalah 6 oleh karena itu, supaya sebagai bentuk baku, kita kalikan kedua ruas menggunakan nomor 6 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.
2x – 6y + 3z = −6
Persamaan 3
−x
+
y
−
z
=
4
2
4
3
3
KPK menurut dua, 4 dan tiga adalah 12 sang karenanya, supaya menjadi bentuk standar, kita kalikan kedua ruas menggunakan angka 12 sebagai akibatnya hasilnya adalah menjadi berikut.
−6x + 3y – 4z = 16
Dengan demikian, bentuk baku menurut sistem persamaan linear tiga variabel bentuk pecahan di atas merupakan sebagai berikut.
4x – 2y – z = 4 ……………….. Pers. (1)
2x – 6y + 3z = −6 ………….. Pers. (dua)
−6x + 3y – 4z = 16 .……….. Pers. (tiga)
■Setelah bentuk SPLTV kita dapatkan, langkah selanjutnya adalah memilih himpunan penyelesaian dari SPLTV tersebut menggunakan memakai galat satu menurut lima metode penyelesaian SPLTV pada atas. Misalkan kita akan memakai metode campuran (eliminasi + subtitusi), sebagai akibatnya solusinya adalah sebagai berikut.
#1 Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yg paling sederhana. Dari ketiga SPLTV pada atas, variabel yg paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah z, maka kita wajib menyamakan koefisien masing-masing y menurut ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.
4x – 2y – z = 4 → koefisien y = –2
2x – 6y + 3z = −6 → koefisien y = –6
−6x + 3y – 4z = 16 → koefisien y = 3
Agar ketiga koefisien y sama (biarkan pertanda), maka kita kalikan persamaan pertama menggunakan 3, persamaan ke 2 menggunakan 1, serta persamaan ketiga dengan dua. Sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.
4x – 2y – z
=
4
× 3
→
12x – 6y – 3z
=
12
2x – 6y + 3z
=
−6
× 1
→
2x – 6y + 3z
=
−6
−6x + 3y – 4z
=
16
× 2
→
−12x + 6y – 8z
=
32
Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan ke 2 menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti pada bawah ini.
●Dari persamaan pertama dan ke 2:
12x – 6y – 3z
=
12
2x – 6y + 3z
=
−6
−
10x − 6z
=
18
●Dari persamaan ke 2 dan ketiga:
2x – 6y + 3z
=
−6
−12x + 6y – 8z
=
32
+
−10x − 5z
=
26
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
10x – 6z = 18
−10x − 5z = 26
#2 Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 10x – 6z = 18
⇒ 10x = 18 + 6z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua menjadi berikut.
⇒−10x − 5z = 26
⇒−(18 + 6z) − 5z = 26
⇒−18 − 6z − 5z = 26
⇒− 6z − 5z = 26 + 18
⇒−11z = 44
⇒ z = −4
Kemudian, buat memilih nilai x, kita subtitusikan nilai z = −4 ke pada keliru satu SPLDV, misalnya persamaan 10x – 6z = 18 sehingga kita peroleh:
⇒ 10x – 6z = 18
⇒ 10x – 6(−4) = 18
⇒ 10x + 24 = 18
⇒ 10x = 18 – 24
⇒ 10x = –6
⇒ x = –6/10
⇒ x = –tiga/5
Langkah terakhir yaitu menentukan nilai y. Untuk memilih nilai y, kita subtitusikan nilai x = –3/5 dan z = x = –4 ke dalam salah satu SPLTV pada atas, contohnya persamaan 4x – 2y – z = 4 sehingga kita peroleh:
⇒ 4x – 2y – z = 4
⇒ 4(–tiga/lima) – 2y – (–4) = 4
⇒–12/5– 2y + 4 = 4
⇒–2y = 4 – 4 + 12/5
⇒–2y = 12/5
⇒ y = –12/10
⇒ y = –6/5
⇒ y = –11/5
Dengan demikian kita peroleh nilai x = –3/5, y = –11/lima dan z = –4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV pada atas adalah (–3/, –11/5, –4).
SPLTV bentuk pecahan yg dibahas dalam artikel ini adalah posisi ketiga variabel (x, y, z) menjadi pembilang dalam pecahan. Lalu bagaimana cara merampungkan SPLTV bentuk pecahan yang variabelnya dijadikan sebagai penyebut pecahan? Perhatikan contoh SPLTV berikut.
4
+
2
+
3
=
1
x
y
z
4
+
4
+
3
=
2
x
y
z
−8
+
2
−
6
=
1
x
y
z
Cara memilih himpunan penyelesaian SPLTV pecahan dengan contoh seperti pada atas bisa kalian jumpai pada artikel mengenai Contoh Soal + Pembahasan SPLTV Bentuk Pecahan.
