Cara Mudah Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara membentuk atau menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) yg akar-akarnya masih mempunyai hubungan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat lama . Maksudnya seperti apa? Coba kalian perhatikan skema berikut adalah.
Persamaan Kuadrat Lama
Persamaan Kuadrat Baru
ax2 + bx + c
px2 + qx + r
Akar-akarnya:
■ x1
■ x2
Akar-akarnya:
■ y1
■ y2
Persamaan kuadrat lama yaitu ax2 + bx + c yg akar-akarnya x1 dan x2 bisa dibuat sebagai persamaan kuadrat baru berbentuk px2 + qx + r yang akar-akarnya y1 serta y2 tanpa memilih nilai akar-akar berdasarkan persamaan kuadrat lama terlebih dahulu asalkan y1 serta y2 masih berkaitan dengan x1 dan x2, misalkan misalnya ini.
■y1 = 2x1
■y2 = 2x2
atau
■y1 = 1/x1
■y2 = 1/x2
Lalu bagaimana caranya menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya masih berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat usang? Prinsip dasar pada menyusun persamaan kuadrat baru adalah dengan memakai rumus jumlah serta hasil kali akar. Dengan memanfaatkan kedua rumus tersebut, maka persamaan kuadrat baru dapat kita susun sesuai dengan interaksi akar-akarnya.
Secara umum, persamaan kuadrat baru dirumuskan sebagai berikut.
x2– (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
Atau umumnya ditulis pada bentuk simbol menjadi berikut.
x2– (α + β)x + α.β = 0
dengan α serta β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat baru. Agar lebih kentara, silahkan kalian simak secara seksama contoh soal dan pembahasan tentang cara menyusun persamaan kuadrat baru berikut adalah.
Contoh Soal dan Pembahasan
Diketahui persamaan kuadrat x2– x + tiga = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Susunlah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan sebagai berikut:
■ x1 + dua serta x2 + 2
■ x12 serta x22
■ 1/(x1– 2) serta 1/(x2– 2)
■ x1/x2 serta x2/x1
Jawab
Langkah pertama, kita tinjau persamaan kuadrat usang x2– x + 3 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -1 serta c = tiga.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat usang adalah
⇔ x1 + x2 = -b/a
⇔ x1 + x2 = -(-1)/1
⇔ x1 + x2 = 1
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat usang adalah
⇔ x1 . X2 = c/a
⇔ x1 . X2 = tiga/1
⇔ x1 . X2 = 3
Langkah ke 2, kita tinjau jumlah dan output kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut.
■ x1 + dua serta x2 + 2
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan α dan β, maka α = x1 + 2 serta β = x2 + 2.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α + β = (x1 + dua) + (x2 + dua)
⇔α + β = (x1 + x2) + 4
⇔α + β = 1 + 4
⇔α + β = 5
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α . β = (x1 + dua) . (x2 + dua)
⇔α . β = x1 . X2 + 2x1 + 2x2 + 4
⇔α . β = x1 . X2 + dua(x1 + x2) + 4
⇔α . β = 3 + dua(1) + 4
⇔α . β = 9
Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu menjadi berikut.
⇔ x2– (α + β)x + α.β = 0
⇔ x2– (5)x + 9 = 0
⇔ x2– 5x + 9 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang baru merupakan x2– 5x + 9 = 0.
■ x12 serta x22
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α serta β, maka α = x12 dan β = x22.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α + β = x12 + x22
Bentuk x12 + x22 dapat kita ubah menjadi seperti berikut
● (x1 + x2)dua = x12 + x22 + dua(x1 . X2)
● x12 + x22 = (x1 + x2)dua− dua(x1 . X2)
Jadi,
⇔α + β = (x1 + x2)2− dua(x1 . X2)
⇔α + β = (1)2– 2(3)
⇔α + β = 1 – 6
⇔α + β = –5
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α . β = x12 . X22
⇔α . β = (x1 . X2)2
⇔α . β = (tiga)2
⇔α . β = 9
Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu menjadi berikut.
⇔ x2– (α + β)x + α.β = 0
⇔ x2– (-lima)x + 9 = 0
⇔ x2 + 5x + 9 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yg baru merupakan x2 + 5x + 9 = 0.
■ 1/(x1– 2) serta 1/(x2– 2)
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan α dan β, maka α = 1/(x1– 2) dan β = 1/(x2– dua).
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α + β
=
1
+
1
x1– 2
x2– 2
⇔α + β
=
(x2– dua) + (x1– 2)
(x1– dua)(x2– dua)
⇔α + β
=
(x2 + x1) – 4
x1 . X2– 2(x1 + x2) + 4
⇔α + β
=
1 – 4
3 – dua(1) + 4
⇔α + β
=
–3
5
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α . β
=
1
.
1
x1– 2
x2– 2
⇔α . β
=
1
x1 . X2– 2(x1 + x2) + 4
⇔α . β
=
1
3 – dua(1) + 4
⇔α . β
=
1
5
Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu menjadi berikut.
⇔ x2– (α + β)x + α.β = 0
⇔ x2– (-3/5)x + 1/5 = 0
⇔ x2 + 3/5x + 1/5 = 0
Apabila kedua ruas kita kalikan menggunakan 5 (agar nir terdapat koefisien pecahan), maka persamaan kuadrat yang baru adalah 5x2 + 3x + 1 = 0.
■ x1/x2 serta x2/x1
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan α serta β, maka α = x1/x2 dan β = x2/x1.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α + β
=
x1
+
x2
x2
x1
⇔α + β
=
x12 + x22
x1 . X2
⇔α + β
=
(x1 + x2)2− 2(x1 . X2)
x1 . X2
⇔α + β
=
(1)2− dua(tiga)
3
⇔α + β
=
–5
3
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
⇔α . β
=
x1
.
x2
x2
x1
⇔α . β
=
1
Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu menjadi berikut.
⇔ x2– (α + β)x + α.β = 0
⇔ x2– (-5/3)x + 1 = 0
⇔ x2 + 5/3x + 1 = 0
Apabila ke 2 ruas kita kalikan menggunakan 3 (supaya tidak terdapat koefisien pecahan), maka persamaan kuadrat yang baru adalah 3x2 + 5x + 3 = 0.
Demikianlah artikel tentang cara mudah menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan rumus jumlah serta hasil kali akar beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.
