Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLK Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Terbaru
Sistem persamaan linear serta kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yg terdiri atas sebuah persamaan linear serta sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel 2. Contoh SPLK adalah menjadi berikut.
y = dua–x ………………. Persamaan (1)
y = x2–3x + dua ……… Persamaan (dua)
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan formasi model soal dan pembahasan tentang sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) menggunakan menggunakan aneka macam macam metode. Silahkan disimak baik-baik.
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear serta Kuadrat (SPLK)
1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
y = x2–1
x–y = 3
Penyelesaian:
Persamaan x–y = 3 dapat kita tulis ulang sebagai bentuk berikut.
y = x–3
subtitusikan y = x–3 ke dalam persamaan y = x2–1 sehingga kita peroleh:
⇒x–tiga = x2–1
⇒x–tiga = x2–1
⇒x2–x–1 + 3 = 0
⇒x2–x + 2 = 0
Persamaan kuadrat di atas sulit buat difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b =−1, serta c = dua, maka kita peroleh:
D = b2–4ac
D = (−1)dua–4(1)(2)
D = 1–8
D =−7
Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak mempunyai penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK pada atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan solusinya bisa ditulis∅. Interpretasi geometri menurut SPLK ini merupakan nir adanya titik singgung juga titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat dalam gambar di bawah ini.
2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
x + y + 2 = 0
y = x2–x–2
Penyelesaian:
Persamaan x + y + dua = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y =−x–2
Subtitusikan nilai y =−x–dua ke persamaan y = x2–x–2 sebagai akibatnya diperoleh:
⇒−x–dua = x2–x–2
⇒x2–x + x–dua + 2 = 0
⇒x2= 0
⇒x = 0
Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y =−x–dua sehingga diperoleh:
⇒y =−(0)–2
⇒y =–2
Jadi, himpunan solusinya merupakan (0,−dua). Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0,−2) seperti yg ditunjukkan dalam gambar berikut ini.
3. Carilah himpunan penyelesaian berdasarkan tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, lalu buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri).
a. Y = x–1 dan y = x2–3x + 2
b. Y = x–tiga serta y = x2–x–2
c. Y =−2x + 1 dan y = x2–4x + 3
Jawab:
a. Subtitusikan bagian linear y = x–1 ke bagian kuadrat y = x2–3x + dua, sebagai akibatnya diperoleh:
⇒x–1 = x2–3x + 2
⇒x2–3x–x + dua + 1 = 0
⇒x2–4x + tiga = 0
⇒(x–1)(x–tiga) = 0
⇒x = 1 atau x = 3
Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x–1.
Untuk x = 1 diperoleh y = 1–1 = 0→(1, 0)
Untuk x = tiga diperoleh y = tiga–1 = dua→(3, 2)
Jadi, himpunan solusinya merupakan (1,0), (3,2). Tafsiran geometrinya, garis y = x–1 memotong parabola y = x2–3x + dua di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, dua). Perhatikan gambar pada bawah ini.
b. Subtitusikan y = x–tiga ke y = x2–x–2 sehingga diperoleh:
⇒x–tiga = x2–x–2
⇒x2–x–x–2 + tiga = 0
⇒x2–2x + 1 = 0
⇒(x–1)dua= 0
⇒x = 1
Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x–tiga sebagai akibatnya didapatkan
⇒y = 1–3 =−2→(1,−dua)
Jadi, himpunan solusinya adalah (1,−2). Tafsiran geometrinya, garis y = x–tiga menyinggung parabola y = x2–x–dua di titik (1,−dua). Perhatikan gambar di bawah ini.
c. Subtitusikan y =−2x + 1 ke y = x2–4x + 3, diperoleh
⇒−2x + 1 = x2–4x + 3
⇒x2–4x + 2x + 3–1 = 0
⇒x2–2x + dua = 0
Persamaan kuadrat ini nir mempunyai akar real, karena D = (−dua)2–4(1)(2) =−4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis∅. Tafsiran geometrinya, garis y =−2x + 1 tidak memotong juga menyinggung parabola y = x2–4x + 3. Perhatikan gambar berikut.
4. Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK ini dia.
x + y–1 = 0 ……….bagian linear
x2+ y2–25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y pada x yaitu sebagai berikut.
⇒x + y–1 = 0
⇒y = 1–x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1–x ke persamaan kuadrat x2+ y2–25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒x2+ y2–25 = 0
⇒x2+ (1–x)dua–25 = 0
⇒x2+ 1–2x + x2–25 = 0
⇒2x2–2x–24 = 0
⇒x2–x–12 = 0
⇒(x + tiga)(x–4) = 0
⇒x =−tiga atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x =−3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y–1 = 0 yaitu menjadi berikut.
●buat x =−3 diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒−3 + y–1 = 0
⇒y–4 = 0
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−tiga, 4).
●buat x = 4 diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒4 + y–1 = 0
⇒y + tiga =−3
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4,−tiga).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (−tiga, 4), (4,−tiga). Anggota-anggota berdasarkan himpunan penyelesaian SPLK tadi bisa ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2+ y2= 25. Perhatikan gambar berikut adalah.
5. Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK berikut ini.
2x + 3y = 8
4x2–12xy + 9y2= 16
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan menjadi berikut.
⇒4x2–12xy + 9y2= 16
⇒(2x–3y)dua–16 = 0
⇒(2x–3y + 4)(2x–3y–4) = 0
⇒2x–3y + 4 = 0 atau 2x–3y–4 = 0
Jika output ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh 2 SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x–3y + 4 = 0
2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x–3y–4 = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan galat satu berdasarkan metode penyelesaian SPLDV yg sudah dibahas pada artikel sebelumnya. Sebagai model, kita gunakan metode campuran.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan memakai metode eliminasi, maka berdasarkan sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x–3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2
Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒2x + tiga(2) = 8
⇒2x + 6 = 8
⇒2x = 8–6
⇒2x = 2
⇒x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini menaruh penyelesaian (1, dua).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan memakai metode eliminasi, maka menurut sistem persamaan 2x + 3y = 8 serta 2x–3y–4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6
y
=
2/3
Kemudian subtitusikan nilai y =2/3ke persamaan 2x + 3y = 8 sebagai akibatnya diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒2x + 3(dua/3) = 8
⇒2x +6/tiga= 8
⇒2x + dua = 8
⇒2x = 8–2
⇒2x = 6
⇒x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (tiga,2/tiga).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tadi adalah (1, dua), (3,dua/3).
6. Carilah himpunan-himpunan penyelesaian menurut sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini.
x + y = 0 ……….. Bagian linear
x2+ y2–8 = 0 ….. Bagian kuadrat berbentuk implisit yang tidak bisa difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x, yaitu menjadi berikut.
⇒x + y = 0
⇒y = x
Lalu subtitusikan persamaan y = x , ke persamaan kuadrat x2+ y2–8 = 0 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒x2+ y2–8 = 0
⇒x2+ (x)dua–8 = 0
⇒x2+ x2–8 = 0
⇒2x2–8 = 0
⇒x2–4 = 0
⇒(x–2)(x + 2) = 0
⇒x = 2 atau x =−2
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = dua atau x =−2 ke persamaan linear x + y = 0, yaitu sebagai berikut.
■buat x = 2 diperoleh:
⇒x + y = 0
⇒2 + y = 0
⇒y =−2
Kita peroleh himpunan penyelesaian (2,−dua)
■untuk x =−dua diperoleh:
⇒x + y = 0
⇒−dua + y = 0
⇒y = 2
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−2, dua)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (dua,−dua), (−2, 2). Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan menjadi koordinat titik potong garis x + y = 0 menggunakan bulat x2+ y2= 8. Perhatikan gambar ini dia.
7. Carilah himpunan penyelesaian berdasarkan SPLK ini dia.
x + y–1 = 0
x2+ y2–25 = 0
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y pada x yaitu sebagai berikut.
⇒x + y–1 = 0
⇒y = 1–x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1–x, ke persamaan kuadrat x2+ y2–25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒x2+ y2–25 = 0
⇒x2+ (1–x)dua–25 = 0
⇒x2+ 1–2x + x2–25 = 0
⇒2x2–2x–24 = 0
⇒x2–x–12 = 0
⇒(x + tiga)(x–4) = 0
⇒x =−tiga atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x =−3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y–1 = 0 yaitu menjadi berikut.
■untuk x =−tiga diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒−3 + y–1 = 0
⇒y–4 = 0
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−tiga, 4).
■buat x = 4 diperoleh:
⇒x + y–1 = 0
⇒4 + y–1 = 0
⇒y + tiga =−3
⇒y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4,−tiga).
Jadi, himpunan solusinya adalah (−3, 4), (4,−tiga).
8. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut adalah.
2x–y–8 = 0
x2+ 4xy + 4y2+ 2x + 4y + 1 = 0
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y pada x yaitu sebagai berikut.
⇒2x–y–8 = 0
⇒y = 2x–8
Lalu subtitusikan persamaan y = 2x–8, ke persamaan kuadrat x2+ 4xy + 4y2+ 2x + 4y + 1 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒x2+ 4xy + 4y2+ 2x + 4y + 1 = 0
⇒x2+ 4x(2x–8) + 4(2x–8)2+ 2x + 4(2x–8) + 1 = 0
⇒x2+ 8x2–32x + 4(4x2–32x + 64) + 2x + 8x–32 + 1 = 0
⇒x2+ 8x2–32x + 16x2–128x + 256 + 2x + 8x–32 + 1 = 0
⇒25x2–150x + 225 = 0
⇒x2–6x + 9 = 0
⇒(x–3)2= 0
⇒x–tiga= 0
⇒x = 3
Setelah nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = tiga, ke persamaan linear 2x–y–8 = 0, yaitu sebagai berikut.
⇒dua(tiga)–y–8 = 0
⇒6–y–8 = 0
⇒y = 6–8
⇒y =−2
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan (tiga,−2).
9. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut adalah.
x + 2y = 4 ……...……… bagian linear
2x2–3xy–2y2= 0 …. Bagian kuadrat
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan menjadi berikut.
⇒2x2–3xy–2y2= 0
⇒(2x + y)(x–2y) = 0
⇒2x + y = 0 atau x–2y = 0
Kemudian output ini kita gabungkan dengan persamaan linear semula, sebagai akibatnya akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.
x + 2y = 4
………. SPLDV pertama
2x + y = 0
x + 2y = 4
………. SPLDV kedua
x–2y = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaikan menggunakan memakai keliru satu menurut metode penyelesaian SPLDV berikut ini.
Sebagai model, kita akan menggunakan metode gabungan (eliminasi + subtitusi)
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x + 2y = 4 serta 2x + y = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x + 2y
=
4
× 2
→
2x + 4y
=
8
2x + y
=
0
× 1
→
2x + y
=
0
−
3y
=
8
y
=
8/3
Selanjutnya, subtitusikan nilai y =8/3ke persamaan x + 2y = 4 sebagai akibatnya diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒x + 2y = 4
⇒x + dua(8/3) = 4
⇒x +16/tiga= 4
Kalikan ke 2 ruas dengan 3 buat menghilangkan bentuk pecahan
⇒3x + 16 = 12
⇒3x = 12–16
⇒3x =–4
⇒x =–4/3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (–4/3,8/tiga).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka berdasarkan sistem persamaan x + 2y = 4 serta x–2y = 0 kita peroleh nilai x menjadi berikut.
x + 2y
=
4
x–2y
=
0
+
2x
=
4
x
=
2
Selanjutnya subtitusikan nilai x = 2 ke persamaan x + 2y = 4 sebagai akibatnya diperoleh nilai y sebagai berikut.
⇒x + 2y = 4
⇒dua + 2y = 4
⇒2y = 4–2
⇒2y = 2
⇒y = 1
Dengan demikian, SPLDV kedua ini menaruh penyelesaian (2, 1)
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut merupakan (–4/tiga,8/3), (2, 1).
10. Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK berikut adalah.
2x + 3y = 8
4x2–12xy + 9y2= 16
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan menjadi berikut.
⇒4x2–12xy + 9y2= 16
⇒(2x–3y)dua–16 = 0
⇒(2x–3y + 4)(2x–3y–4) = 0
⇒2x–3y + 4 = 0 atau 2x–3y–4 = 0
Jika output ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh 2 SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x–3y + 4 = 0
2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x–3y–4 = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan memakai keliru satu menurut metode penyelesaian SPLDV yang sudah disebutkan sebelumnya.sebagai model, kita pakai metode adonan.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan memakai metode eliminasi, maka berdasarkan sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x–3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2
Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒2x + tiga(2) = 8
⇒2x + 6 = 8
⇒2x = 8–6
⇒2x = 2
⇒x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini menaruh penyelesaian (1, dua).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan memakai metode eliminasi, maka menurut sistem persamaan 2x + 3y = 8 serta 2x–3y–4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x–3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6
y
=
2/3
Kemudian subtitusikan nilai y =2/3ke persamaan 2x + 3y = 8 sebagai akibatnya diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒2x + 3(dua/3) = 8
⇒2x +6/tiga= 8
⇒2x + dua = 8
⇒2x = 8–2
⇒2x = 6
⇒x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (tiga,2/tiga).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tadi adalah (1, dua), (3,dua/3).
11. Carilah himpunan penyelesaian berdasarkan SPLK berikut adalah.
x–y = 3 ……………………… bagian linear
x2–4xy + 4y2–25 = 0 …. Bagian kuadrat
Bagian kuadrat dapat difaktorkan menjadi berikut.
⇒x2–4xy + 4y2–25 = 0
⇒(x–2y)2–25 = 0
⇒(x–2y + lima)( x–2y–lima) = 0
⇒x–2y + lima = 0 atau x–2y–5 = 0
Jika output ini digabungkan menggunakan persamaan linear semula, maka akan diperoleh 2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu menjadi berikut.
x–y = 3
………. SPLDV pertama
x–2y + lima = 0
x–y = 3
………. SPLDV kedua
x–2y–5 = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan menggunakan menggunakan salah satu menurut metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya. Sebagai model, kita gunakan metode adonan.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x–y = 3 dan x–2y + lima = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x–y
=
3
x–2y
=
–5
−
y
=
8
Selanjutnya subtitusikan nilai y = 8 ke persamaan x–y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒x–8 = 3
⇒x = tiga + 8
⇒x = 11
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (11, 8).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x–y = 3 dan x–2y–5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x–y
=
3
x–2y
=
5
−
y
=
–2
Selanjutnya subtitusikan nilai y =–2 ke persamaan x–y = tiga sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒x–(–dua) = 3
⇒x + dua = 3
⇒x = 3–2
⇒x = 11
Dengan demikian, SPLDV ke 2 ini menaruh penyelesaian (1,–dua).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah (11, 8), (1,–2).
