Cara Menentukan Penyelesaian SPLK Berbentuk Implisit Terbaru
Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan matematika yg terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yg masing-masing bervariabel 2. Berdasarkan karakteristik dan bagian bentuk kuadratnya, sistem persamaan linear serta kuadrat (SPLK) bisa dibedakan menjadu 2 jenis, yaitu:
Suatu persamaan dua peubah x serta y dikatakan berbentuk eskplisit bila persamaan itu bisa dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Contoh persamaan dua peubah/variabel (x serta y) pada bentuk eksplisit adalah sebagai berikut.
i) y = 3x – 2
ii) x = lima – 4y
iii) y = x2– 4x + 5
iv) x = 3y2 + 6y – 2
Persamaan 2 peubah x serta y dikatakan berbentuk implisit bila persamaan itu nir dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0. Contoh persamaan dua peubah (x serta y) dalam bentuk tersirat merupakan sebagai berikut.
i) x2 + y2 + 8 = 0
ii) x2 + y2 + 2x – y = 0
iii) x2 + y2– 3x + 4y + 1 = 0
iv) 2x2– xy + y2 + 3x + y – 4 = 0
Secara umum, SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.
px + qy + r = 0
……………. (bagian linear)
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
……………. (bagian kuadrat)
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, serta r merupakan bilangan-sapta real.
SPLK menggunakan bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada 2 kemungkinan, yaitu:
Lalu bagaimana cara menetukan himpunan penyelesaian menurut dua kemungkina SPLK implisit tadi? Berikut penjelsannya, silahkan kalian simak baik-baik.
SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y pada x.
Langkah dua: Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah tiga: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dalam langkah dua, kemudian nilai-nilai yang didapat disubtitusikan ke persamaan linear atau kuadrat. Tetapi untuk efisiensi waktu, relatif subtitusikan ke persamaan linear saja.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0 ……….bagian linear
x2 + y2– 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk tersirat yg tidak bisa difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y pada x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2– 25 = 0, sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ x2 + y2– 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2– 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2– 25 = 0
⇒ 2x2– 2x – 24 = 0
⇒ x2– x – 12 = 0
⇒ (x + tiga)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −tiga atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu menjadi berikut.
● untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒−tiga + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
● buat x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3 = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −tiga).
Jadi, himpunan solusinya merupakan (−3, 4), (4, −tiga). Anggota-anggota menurut himpunan penyelesaian SPLK tadi dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan bulat x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar ini dia.
SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Cara menentukan penyelesaian SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan, sma dengan yang tidak dapat difaktorkan. Namun, kita akan menggunakan cara lain. Untuk itu, silahkan kalian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini.
x – y = 3 ……………………… bagian linear
x2– 4xy + 4y2– 25 = 0 …. Bagian kuadrat
Bagian kuadrat bisa difaktorkan sebagai berikut.
⇒ x2– 4xy + 4y2– 25 = 0
⇒ (x – 2y)dua– 25 = 0
⇒ (x – 2y + lima)( x – 2y – 5) = 0
⇒ x – 2y + lima = 0 atau x – 2y – lima = 0
Jika output ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.
x – y = 3
………. SPLDV pertama
x – 2y + lima = 0
x – y = 3
………. SPLDV kedua
x – 2y – lima = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan menggunakan memakai salah satu menurut metode penyelesaian SPLDV berikut adalah.
Sebagai model, kita akan memakai metode campuran (eliminasi + subtitusi)
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y + lima = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x – y
=
3
x – 2y
=
–5
−
y
=
8
Selanjutnya subtitusikan nilai y = 8 ke persamaan x – y = tiga sehingga diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒ x – 8 = 3
⇒ x = 3 + 8
⇒ x = 11
Dengan demikian, SPLDV pertama ini menaruh penyelesaian (11, 8).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y – lima = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x – y
=
3
x – 2y
=
5
−
y
=
–2
Selanjutnya subtitusikan nilai y = –2 ke persamaan x – y = tiga sehingga diperoleh nilai x menjadi berikut.
⇒ x – (–dua) = 3
⇒ x + dua = 3
⇒ x = 3 – 2
⇒ x = 11
Dengan demikian, SPLDV ke 2 ini memberikan penyelesaian (1, –2).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut merupakan (11, 8), (1, –dua).
Berdasarkan pembasan di atas, langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK menggunakan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke pada faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1 . L2 = 0.
⇒ L1 . L2 = 0
⇒ L1 = 0 atau L2 = 0
Dengan L1 dan L2 masing-masing berbentuk linear.
Langkah dua: Bentuk-bentuk linear yg diperoleh pada langkah 1 digabungkan menggunakan persamaan linear semula, sehingga diperoleh 2 buah SPLDV. Kemudian selesaikan masing-masing SPLDV tersebut.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian menurut SPLK berikut ini.
2x + 3y = 8
4x2– 12xy + 9y2 = 16
Jawab:
Bagian kuadrat bisa difaktorkan sebagai berikut.
⇒ 4x2– 12xy + 9y2 = 16
⇒ (2x – 3y)dua– 16 = 0
⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Jika output ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0
2x + 3y = 8
………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan menggunakan memakai keliru satu dari metode penyelesaian SPLDV yg telah disebutkan sebelumnya.sebagai model, kita pakai metode gabungan.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka berdasarkan sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y menjadi berikut.
2x + 3y
=
8
2x – 3y
=
–4
−
6y
=
12
y
=
2
Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 – 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, dua).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan memakai metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
=
8
2x – 3y
=
4
−
6y
=
4
y
=
4/6
y
=
2/3
Kemudian subtitusikan nilai y = 2/tiga ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(dua/tiga) = 8
⇒ 2x + 6/tiga = 8
⇒ 2x + 2 = 8
⇒ 2x = 8 – 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (tiga, dua/tiga).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tadi adalah (1, 2), (3, dua/tiga).
