Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks Terbaru
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari menggunakan beberapa cara, pada antaranya merupakan menggunakan menggunakan:
Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara memilih himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode invers matriks. Tetapi sebelum itu, tahukah kalian apa itu invers matriks? Berikut ini penerangan singkat mengenai invers matriks.
Pengertian Invers Matriks
Jika A dan B merupakan matriks persegi serta berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A serta B saling invers. B diklaim invers berdasarkan A atau ditulis B = A-1. Matriks yang memiliki invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yg tidak memiliki invers diklaim matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh ini dia.
Jika A
=
a1
b1
c1
Dengan det A ≠ 0
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Maka invers dari matriks A (ditulis A-1) dirumuskan menjadi berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
A-1
=
1
adj
a1
b1
c1
a2
b2
c2
det A
a3
b3
c3
Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak memiliki invers atau diklaim matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A bisa dipakai cara berikut.
Determinan matriks A
■Dari matriks A masukkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen menurut kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen menurut kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
■Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar menggunakan diagonal utama. Ada tiga output perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, serta c1a2b3. Ketiga output perkalian elemen matriks tadi bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini.
+
+
+
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
■Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada 3 hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, serta c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut.
−
−
−
A
=
a1
b1
c1
a1
b1
a2
b2
c2
a2
b2
a3
b3
c3
a3
b3
■Determinan dari matriks A merupakan jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:
det A = (a1b2c3) + (b1c2a3) + (c1a2b3) + (−a3b2c1) + (−b3c2a1) + (−c3a2b1)
det A = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
Adjoin matriks A
Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Jadi sebelum bisa menentukan nilai adjoin, kita wajib memilih dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Matriks Kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
kof(A)
=
K11
K12
K13
K21
K22
K23
K31
K32
K33
Kesembilan elemen K tadi bisa tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yg dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor berdasarkan matriks A yang diperoleh dengan menutup baris serta kolom pertama matriks A.
M11
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M11
=
b2
c2
=
(b2c3) – (b3c2)
b3
c3
Dengan demikian, nilai dari K11 merupakan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 [(b2c3) – (b3c2)]
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yg diperoleh menggunakan menutup baris pertama serta kolom ke 2 matriks A.
M12
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M12
=
a2
c2
=
(a2c3) – (a3c2)
a3
c3
Dengan demikian, nilai berdasarkan K12 merupakan sebagai berikut.
K12 = (−1)1 + 2 [(a2c3) – (a3c2)]
K13 = (−1)1 + tiga M13
M13 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yg diperoleh dengan menutup baris pertama serta kolom ketiga matriks A.
M13
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M13
=
a2
b2
=
(a2b3) – (a3b2)
a3
b3
Dengan demikian, nilai menurut K13 merupakan sebagai berikut.
K13 = (−1)1 + 3 [(a2b3) – (a3b2)]
K21 = (−1)dua + 1 M21
M21 adalah determinan minor berdasarkan matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ke 2 dan kolom pertama matriks A.
M21
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M21
=
b1
c1
=
(b1c3) – (b3c1)
b3
c3
Dengan demikian, nilai berdasarkan K21 merupakan menjadi berikut.
K21 = (−1)2 + 1 [(b1c3) – (b3c1)]
K22 = (−1)2 + dua M22
M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh menggunakan menutup baris ke 2 dan kolom kedua matriks A.
M22
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M22
=
a1
c1
=
(a1c3) – (a3c1)
a3
c3
Dengan demikian, nilai dari K22 adalah menjadi berikut.
K22 = (−1)2 + 2 [(a1c3) – (a3c1)]
K23 = (−1)2 + tiga M23
M23 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yg diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
M23
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M23
=
a1
b1
=
(a1b3) – (a3b1)
a3
b3
Dengan demikian, nilai berdasarkan K23 merupakan menjadi berikut.
K23 = (−1)2 + 3 [(a1b3) – (a3b1)]
K31 = (−1)tiga+ 1 M31
M31 merupakan determinan minor menurut matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
M31
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M31
=
b1
c1
=
(b1c2) – (b2c1)
b2
c2
Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.
K31 = (−1)tiga + 1 [(b1c2) – (b2c1)]
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 adalah determinan minor dari matriks A yg diperoleh menggunakan menutup baris ketiga dan kolom ke 2 matriks A.
M32
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M32
=
a1
c1
=
(a1c2) – (a2c1)
a2
c2
Dengan demikian, nilai menurut K32 merupakan sebagai berikut.
K32 = (−1)3 + 2 [(a1c2) – (a2c1)]
K33 = (−1)tiga+ tiga M33
M33 merupakan determinan minor berdasarkan matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
M33
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
M33
=
a1
b1
=
(a1b2) – (a2b1)
a2
b2
Dengan demikian, nilai berdasarkan K33 adalah sebagai berikut.
K33 = (−1)3 + 3 [(a1b2) – (a2b1)]
Matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Transpose menurut matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengganti baris menjadi kolom dan kolom sebagai baris. Perhatikan cara berikut.
kof(A)
=
K11
K12
K13
K21
K22
K23
K31
K32
K33
[kof(A)]T
=
K11
K21
K31
K12
K22
K32
K13
K23
K33
Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah menjadi berikut
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Adj A
=
K11
K21
K31
K12
K22
K32
K13
K23
K33
Penyelesaian SPLTV dengan Invers Matriks
Invers matrik bisa dipakai buat mempermudah pada menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik itu dua variabel juga tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLTV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLTV sebagai bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.
Bentuk generik sistem persamaan linear 2 variabel merupakan menjadi berikut.
a1x + b1y + c1z = d1 …………… Pers. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 …………… Pers. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 …………… Pers. (tiga)
Persamaan (1), (dua), dan (3) di atas dapat kita susun ke pada bentuk matriks misalnya pada bawah ini.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah menjadi berikut.
a1
b1
c1
x
=
d1
a2
b2
c2
y
d2
a3
b3
c3
z
d3
Tujuan merampungkan sistem persamaan linear 3 variabel merupakan buat menentukan nilai x, y, serta z yang memenuhi persamaan tadi. Oleh karenanya, bentuk matriks AX = B harus kita ubah sebagai bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks pada atas, maka bentuk matriks menurut X = A-1B merupakan sebagai berikut.
x
=
1
K11
K21
K31
d1
y
K12
K22
K32
d2
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
z
K13
K23
K33
d3
Nah, rumus inilah yang digunakan buat memilih nilai x, y, dan z menurut sistem persamaan linear 3 variabel.
