Contoh Soal Pembahasan SPLTV Bentuk Pecahan Terbaru
Dalam artikel tentang Cara Praktis Menentukan Penyelesaian SPLTV Bentuk Pecahan, telah dijelaskan tentang langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear 3 (Tiga) Variabel atau SPLTV berbentuk pecahan. Langkah-langkah tadi antara lain menjadi berikut.
1. Mengubah SPLTV bentuk pecahan sebagai bentuk baku. Bentuk baku menurut SPLTV merupakan menjadi berikut.
ax + by + cz = d
atau
a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h
a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l
a3x + b3y + c3z = d3
Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan sapta-sapta real.
Keterangan:
a, e, i, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien berdasarkan y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
2. Menyelesaikan SPLTV bentuk pecahan yang telah kita peroleh bentuk bakunya menggunakan keliru satu menurut 5 metode di bawah ini.
Nah, spesifik pada artikel ini, bentuk SPLTV pecahan yg akan dibahas cara solusinya adalah variabel SPLTV (x, y, serta z) kedudukannya sebagai penyebut dalam pecahan, misalnya misalnya sistem persamaan berikut ini.
1
+
2
+
4
=
1
x
y
z
−1
+
4
+
12
=
0
x
y
z
2
+
8
+
4
=
−1
x
y
z
Lalu bagaimanakah cara menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tadi? Cara sangat mudah yaitu menggunakan membuat permisalan menjadi berikut.
Misalkan:
1
=
p
;
1
=
q
;
1
=
r
x
y
z
Dengan memakai permisalan ini, maka bentuk SPLTV pecahan di atas sebagai misalnya berikut.
■Persamaan pertama:
⇒ 1(1/x) + dua(1/y) + 4(1/z) = 1
⇒ p + 2q + 4r = 1
■Persamaan kedua:
⇒−1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0
⇒−p + 4q + 12r = 0
■Persamaan ketiga:
⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1
⇒ 2p + 8q + 4r = −1
Dengan demikian, kita sudah memperoleh SPLTV bentuk standar menggunakan variabel p, q, dan r yaitu menjadi berikut.
p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)
−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (dua)
2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)
Langkah selanjutnya merupakan menentukan himpunan penyelesaian SPLTV tersebut menggunakan menggunakan galat satu berdasarkan lima metode penyelesaian yg sudah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah menjadi berikut.
#1 Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yg akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yg paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yg paling sederhana merupakan p sebagai akibatnya kita akan mengeliminasi p dulu.
Untuk menghilangkan peubah p, maka kita wajib menyamakan koefisien masing-masing p berdasarkan ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.
p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1
−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1
2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2
Agar ketiga koefisien q sama (abaikan indikasi), maka kita kalikan persamaan pertama serta ke 2 menggunakan dua, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sebagai akibatnya hasilnya adalah menjadi berikut.
p + 2q + 4r
=
1
× 2
→
2p + 4q + 8r
=
2
−p + 4q + 12r
=
0
× 2
→
−2p + 8q + 24r
=
0
2p + 8q + 4r
=
−1
× 1
→
2p + 8q + 4r
=
−1
Setelah koefisien p ketiga persamaan telah sama, maka eksklusif saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama menggunakan persamaan ke 2 serta persamaan ke 2 menggunakan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.
●Dari persamaan pertama dan ke 2:
2p + 4q + 8r
=
2
−2p + 8q + 24r
=
0
+
12q + 32r
=
2
●Dari persamaan ke 2 dan ketiga:
−2p + 8q + 24r
=
0
2p + 8q + 4r
=
−1
+
16q + 28r
=
−1
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV menjadi berikut.
12q + 32r = 2
16q + 28r = −1
#dua Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p menjadi berikut.
⇒ 12q + 32r = 2
⇒ 12q = dua – 32r
Kemudian, supaya persamaan q pada atas bisa disubtitusikan dalam SPLDV ke 2, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk misalnya berkut.
⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]
⇒4/tiga(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]
Kemudian tambahkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tadi.
⇒4/tiga(12q) + 28r = −1
⇒4/3(dua – 32r) + 28r = −1
⇒8/3–128r/tiga + 28r = −1
Kalikan ke 2 ruas dengan angka 3
⇒ 8 − 128r + 84r = −3
⇒−128r + 84r = −tiga – 8
⇒−44r = −11
⇒ r = −11/−44
⇒ r = 1/4
Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = seperempat ke dalam galat satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ 12q + 32r = 2
⇒ 12q + 32(seperempat ) = 2
⇒ 12q + 8 = 2
⇒ 12q = 2 – 8
⇒ 12q = –6
⇒ q = –6/12
⇒ q = –1/2
Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah memilih nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/dua serta r = seperempat ke salah satu SPLTV pada atas, contohnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sebagai akibatnya kita peroleh:
⇒ p + 2q + 4r = 1
⇒ p + dua(–1/2) + 4(1/4 ) = 1
⇒ p + dua(–1/2) + 4(1/4 ) = 1
⇒ p – 1 + 1 = 1
⇒ p + 0 = 1
⇒ p = 1
Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu menjadi berikut.
1/x
=
p
1/y
=
q
1/z
=
r
1/x
=
1
1/y
=
–1/2
1/z
=
1/4
x
=
1
y
=
–2
z
=
4
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −dua, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tadi merupakan (1 , −dua, 4).
