Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Nilai absolut menurut suatu bilangan real x (dilambangkan menggunakan x) merupakan nilai tak negatif dari sapta rea itu. Misalnya, tiga = 3, −2 = 2, serta −1/2 = 1/2. Nilai mutlak sapta nol didefinisikan menjadi bilangan itu sendiri, sebagai akibatnya 0 = 0. Secara umum, nilai mutlak didefinisikan menjadi berikut.
Untuk setiap sapta real x, nilai absolut x, ditulis x diartikan
x
=
x, buat x ≥ 0
−x, buat x < 0
Misalkan x < 0 maka dapat ditentukan suatu bilangan positif p sehingga x + p = a, a ≥ 0. Oleh karenanya,
x + p = a
⇔ (x + p)dua = a2
⇔ x2 + 2px + p2 = a2
Karena p positif serta x positif, apabila dimisalkan q = 2px + p2 maka q merupakan sapta positif, sebagai akibatnya diperoleh bahwa x2 + q = a2. Lantaran x2 + q (positif) = a2 maka bisa disimpulkan bahwa
x
<
a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 < a2
Analogi menggunakan cara di atas maka kita pula akan memperoleh
x
>
a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 > a2
Cobalah kalian buktikan.
Akibat dari sifat x < a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 < a2 adalah sebagai berikut.
x2 < a2
⇔ x2– a2 < 0
⇔ (x – a)(x + a) < 0
Pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan itu adalah
(x – a)(x + a) < 0
⇔ x – a = 0 atau x + a = 0
⇔ x = a atau x = −a
Gambar garis bilangannya adalah menjadi berikut.
Kemudian kita uji sebuah titik, misalnya 0 (nol).
(x – a)(x + a) = 0
x = 0 → (0 – a)(0 + a)
⇔ (−a)(a)
⇔−(a)dua < 0
Karena buat x = 0 bernilai negatif (−a2 < 0) maka pernyataan tersebut sahih sehingga pertanda berdasarkan garis sapta itu adalah menjadi berikut.
Interval yg memenuhi pertidaksamaan itu adalah –a < x < a.
Akibat dari sifat x > a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 > a2 adalah sebagai berikut.
x2 > a2
⇔ x2– a2 > 0
⇔ (x – a)(x + a) > 0
Pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu adalah x = a atau x = −a dan garis bilangannya merupakan menjadi berikut.
Karena daerah yang diminta positif, maka daerah yang memenuhi merupakan x < −a atau x > a misalnya yg diperlihatkan dalam gambar berikut.
Analog dengan kedua hal pada atas, tentu kalian bisa memberitahuakn bahwa x ≤ a, a ≥ 0 ⇔−a ≤ x ≤ a dan buat x ≥ a, a ≥ 0 ⇔ x ≤−a atau x ≥a. Jadi, bisa disimpulkan bahwa buat a ≥ 0, berlaku
x < a ⇔−a < x < a
x ≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a
x > a ⇔ x < −a atau x > a
x ≥ a ⇔ x ≤−a atau x ≥ a
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yg variabelnya berada dalam indikasi mutlak. Misalnya,
x – 1 < tiga, x2 + 3x > 5 – 2x, dan x + 12– dua ≤ x + 1.
Dari uraian pada atas, buat menyelesaikan suatu pertidaksamaan nilai mutlak, bisa kita gunakan sifat-sifat berikut.
Jika a ∈ R dan a ≥ 0 maka
1.
a.
x < a ⇔−a < x < a
b.
x ≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a
c.
x > a ⇔ x < −a atau x > a
d.
x ≥ a ⇔ x ≤−a atau x ≥ a
2.
x = √x2
Agar kalian dapat tahu bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan nilai absolut, silahkan kalian pelajari beberapa model soal dan pembahasannya ini dia.
Contoh Soal serta Pembahasan
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
2x – tiga ≤ 7
Jawab:
Dengan memakai sifat 1 (b), diperoleh:
−7 ≤ 2x – tiga ≤ 7
⇔−7 + 3 ≤ 2x ≤ 7 + 3
⇔−4 ≤ 2x ≤ 10
⇔−dua ≤ x ≤ 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x −2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R.
2. Tentukan penyelesaian menurut pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
2x + 1 ≥ x – 2
Jawab:
Dengan memakai sifat 2, maka kita peroleh:
√(2x + 1)2≥√(x – dua)2
⇔ (2x + 1)2≥ (x – 2)2
⇔ 4x2 + 4x + 1 ≥ x2– 4x + 4
⇔ 4x2– x2 + 4x + 4x + 1 – 4 ≥ 0
⇔ 3x2 + 8x – tiga ≥ 0
⇔ (x + tiga)(3x – 1) ≥ 0
⇔ x ≤−tiga atau x ≥1/3
Jadi, himpunan solusinya adalah x x ≤−3 atau x ≥1/tiga, x ∈ R.
3. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut adalah menggunakan menggunakan analisis penyelesaian dalam garis sapta.
x – 22– 4x – 2 + tiga < 0
Jawab:
Pertidaksamaan ini bisa kita kerjakan menggunakan memisalkan bentuk nilai absolut x – 2 pada suatu variabel baru, contohnya a.
Misalkan a = x – 2 maka pertidaksamaan di atas menjadi:
a2– 4a + tiga < 0
⇔ (a – 1)(a – tiga) < 0
⇔ 1 < a < 3
Karena a = x – 2 maka 1 < x – dua < tiga. Bentuk ini bisa dipisahkan sebagai bentuk 1 < x – 2 serta x – dua < 3.
■Untuk 1 < x – dua atau x – 2 > 1
Dengan menggunakan sifat 1 (c) diperoleh:
⇔ x – dua < −1 atau x – 2 > 1
⇔ x < −1 + dua atau x > 1 + 2
⇔ x < 1 atau x > tiga ……………….. (1)
■Untuk x – dua < 3
Dengan memakai sifat 1 (a) diperoleh:
⇔−tiga < x – 2 < 3
⇔−tiga + dua < x < 3 + 2
⇔−1 < x < 5 ……………….. (dua)
Jika interval (1) dan (2) kita gambarkan dalam garis sapta, tampak seperti gambar pada bawah ini.
Dari garis bilangan di atas, diperoleh himpunan penyelesaian merupakan x −1 < x < 1 atau tiga < x < 5.
4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut adalah serta gambarkan garis sapta penyelesaiannya.
x – 2
< 3
x + 1
Jawab:
Ingat bahwa x < a ⇔−a < x < a. Dengan demikian, diperoleh:
−3 <
x – 2
< 3
x + 1
■Untuk
x – 2
< 3
x + 1
⇔
x – 2
−
3(x + 1)
< 0
x + 1
x + 1
⇔
x – dua – 3x – 3
< 0
x + 1
⇔
–2x – 5
< 0
x + 1
Pertidaksamaan di atas merupakan pertidaksamaan bentuk pecahan. Penyelesaiannya merupakan menjadi berikut.
● Nilai-nilai produsen nol
Bagian pembilang: −2x – 5 = 0 ⇔ x = −5/2
Bagian penyebut: x + 1 = 0 ⇔ x = −1
● Misalkan kita gunakan nilai uji x = 0 serta kita subtitusikan nilai x = 0 ini ke dalam pertidaksamaan pecahan pada atas, maka kita peroleh:
–2x – 5
=
–dua(0) – 5
=
−5
<
0
x + 1
0 + 1
Karena hasilnya lebih kecil daripada nol (0), maka interval pada x = 0 bertanda negatif. Dengan demikian, gambar garis bilangan buat pertidaksamaan ini merupakan sebagai berikut.
■Untuk
x – 2
> −3
x + 1
⇔
x – 2
+
3(x + 1)
> 0
x + 1
x + 1
⇔
x – dua + 3x + 3
> 0
x + 1
⇔
4x + 1
> 0
x + 1
Penyelesaian pertidaksamaan bentuk pecahan ini adalah menjadi berikut.
● Nilai-nilai produsen nol
Bagian pembilang: 4x + 1 = 0 ⇔ x = −1/4
Bagian penyebut: x + 1 = 0 ⇔ x = −1
● Misalkan kita gunakan nilai uji x = 0 serta kita subtitusikan nilai x = 0 ini ke dalam pertidaksamaan pecahan pada atas, maka kita peroleh:
4x + 1
=
4(0) + 1
=
1
>
0
x + 1
0 + 1
Karena hasilnya lebih besar daripada nol (0), maka interval pada x = 0 bertanda positif. Dengan demikian, gambar garis sapta buat pertidaksamaan ini merupakan menjadi berikut.
Dari kedua garis bilangan di atas, bila kita gambarkan pada satu letak, akan tampak seperti pada gambar berikut adalah.
Dari gambar di atas, tampak bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut merupakan x x < −5/2 atau x > −seperempat, x ∈ R.
