Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Pecahan Akar Nilai Mutlak Polinomial Contoh Soal & Pembahasan Terbaru
Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat atau pernyataan matematika yg menerangkan perbandingan berukuran 2 objek atau lebih. Beberapa notasi dasar pada pertidaksamaan adalah sebagai berikut.
Tabel Notasi Pertidaksamaan Matematika
Notasi
Arti
Contoh
<
Lebih kecil
Kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
>
Lebih besar
Lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
≤
Lebih kecil atau sama dengan
Maksimum/maksimal
Sebanyaknya
Paling banyak
Tidak lebih dari
Sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
≥
Lebih besar atau sama dengan
Minimum/minimal
Sesedikitnya
Paling sedikit
Tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
≠
Tidak sama dengan
2 ≠ 3
a < x < b
Diantara a dan b
2 < x < 5
a ≤ x < b
Diantara a serta b jika nilai minimal a
2 ≤ x < 5
a < x ≤ b
Diantara a serta b apabila maksimal b
2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b
Diantara a serta b jika minimal a dan aporisma b
2 ≤ x ≤ 5
Jenis-jenis pertidaksamaan pada matematika terdapat poly sekali, pada antaranya pertidaksamaan linear, kuadrat, akar, pecahan, nilai mutlak serta polinomial. Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian menurut beberapa jenis pertidaksamaan matematika tersebut.
1. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Pecahan
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk pecahan berikut adalah.
f(x)
<
0
g(x)
f(x)
≤
0
g(x)
f(x)
>
0
g(x)
f(x)
≥
0
g(x)
Dapat ditentukan melalui langkah-langkah menjadi berikut.
Langkah 1:
Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang serta bagian penyebut menurut bentuk pecahan f(x)/g(x), yaitu f(x) = 0 serta g(x) = 0.
Langkah dua:
Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis sapta, sebagai akibatnya diperoleh interval-interval.
Langkah tiga:
Tentukan indikasi-indikasi interval dengan cara mensubtitusikan nilai-nilai uji yg berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4:
Berdasarkan pertanda-tanda interval yg diperoleh pada langkah 3, kita dapat menentukan interval yg memenuhi. Dalam menentukan interval yg memenuhi itu, perlu diingat adanya kondisi bahwa bagian penyebut tidak boleh sama menggunakan nol atau g(x) ≠ 0.
Sekarang agar kalian lebih paham mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian menurut pertidaksamaan bentuk pecahan, silahkan kalian pelajari dan pahami 2 model soal dan pembahasannya berikut adalah.
Contoh Soal :
Carilah himpunan penyelesaian menurut pertidaksamaan pecahan ini dia.
2x – 4
≤
0
3x + 3
Jawab:
Nilai nol bagian pembilang: 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
Nilai nol bagian penyebut: 3x + 3 = 0 ⇒ x = −1
Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan dalam diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol tersebut membagi garis sapta sebagai tiga interval yaitu x < −1, −1 < x < 2, serta x > 2. Perhatikan gambar berikut ini.
Kemudian kita tentukan pertanda interval cukup dengan menggunakan satu nilai uji. Ambil angka yg paling mudah dihitung, yaitu x = 0 yang terlatak pada selang −1 < x < dua. Jika nilai x = 0 kita masukkan ke pertidaksamaan pecahan, maka kita peroleh:
2(0) – 4
=
−
4
3(0) + 3
3
Karena hasilnya negatif, maka interval −1 < x < 2 bertanda − atau < 0.
Karena satu interval sudah diketahui, maka 2 interval lainnya jua bisa menggunakan gampang dipengaruhi, yaitu interval x < −1 bertanda positif serta interval x > dua juga bertanda positif, karena setiap melompati produsen nol, pertanda harus berganti (selang-seling) misalnya yang diperlihatkan dalam gambar berikut.
Dengan mengingat bahwa bagian penyebut nir boleh sama dengan nol, maka:
⇔ 3x + tiga ≠ 0
⇔ 3x ≠ 3
⇔ x ≠tiga/3
⇔ x ≠ 1
Sehingga indikasi selang pada gambar garis bilangan pada atas berubah sebagai misalnya berikut.
Jadi, himpunan penyelesaian menurut pertidaksamaan tadi merupakan HP = x −1 < x ≤ 2.
2. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar
Pertidaksamaan bentuk akar sering disebut jua pertidaksamaan irrasional, yaitu pertidaksamaan yang variabelnya masih ada dalam indikasi akar. Pertidaksamaan bentuk akar mempunyai 8 macam bentuk standar (generik) yaitu menjadi berikut.
1.
√u(x) < a
1.
√u(x) < √v(x)
2.
√u(x)≤ a
2.
√u(x)≤√v(x)
3.
√u(x) > a
3.
√u(x) > √v(x)
4.
√u(x)≥ a
4.
√u(x)≥√v(x)
Dengan a ≥ 0, a ∈ R (a sapta real positif atau nol).
u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi pada x dengan u(x) ≥ 0 serta v(x) ≥ 0.
Misalkan kita memiliki 2 bilangan p serta q.
■Misalkan p = 5 maka 52 = 25
q = 8 maka 82 = 64
Tampak bahwa 0 < lima < 8 dan 52 < 82
■Misalkan p = 1 maka 12 = 1
q = tiga maka 32 = 9
Tampak bahwa 0 < 1 < tiga dan 12 < 32
Berdasarkan contoh pada atas, secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Jika p serta q ∈ R menggunakan 0 < p < q,
maka p2 < q2
Dengan sifat tersebut, kita bisa menuntaskan sistem pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Kuadratkan ke 2 ruas pertidaksamaan itu (tanda pertidaksamaan tetap). Kemudian, selesaikan.
2. Tentukan syarat bahwa bentuk akar masing-masing ruas terdefinisi atau bernilai real, yaitu bilangan pada bawah pertanda akar bernilai positif atau nol.
3. Tentukan interval yang memenuhi penyelesaian pada langkah pertama serta langkah ke 2 (cari irisannya).
Agar kalian lebih memahami cara penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar, perhatikan beberapa model soal serta pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal :
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional berikut.
√x + 5 < 4
Jawab:
1. Kedua ruas dikuadratkan, sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.
⇒ (√x + lima)2 < 42
⇒ x + lima < 16
⇒ x < 16 – 5
⇒ x < 11 ……………. (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x + 5 ≥ 0
⇒ x ≥−5 …………… (dua)
3. Penyelesaian yang memenuhi menurut (1) dan (dua) adalah irisan kedua interval itu. Jadi, solusinya adalah −lima ≤ x < 11. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah x −lima ≤ x < 11, x ∈ R. Himpunan penyelesaian ini tampak dalam garis sapta di bawah ini.
3. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak berdasarkan suatu bilangan real x (dilambangkan dengan x) adalah nilai tak negatif dari bilangan rea itu. Misalnya, 3 = 3, −dua = dua, dan −1/2 = 1/dua. Nilai mutlak bilangan nol didefinisikan menjadi sapta itu sendiri, sebagai akibatnya 0 = 0. Secara generik, nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut.
Untuk setiap sapta real x, nilai absolut x, ditulis x diartikan
x
=
x, buat x ≥ 0
−x, buat x < 0
Misalkan x < 0 maka bisa dipengaruhi suatu bilangan positif p sehingga x + p = a, a ≥ 0. Oleh karena itu,
x + p = a
⇔ (x + p)dua = a2
⇔ x2 + 2px + p2 = a2
Karena p positif dan x positif, apabila dimisalkan q = 2px + p2 maka q merupakan sapta positif, sehingga diperoleh bahwa x2 + q = a2. Karena x2 + q (positif) = a2 maka dapat disimpulkan bahwa
x
<
a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 < a2
Analogi menggunakan cara di atas maka kita juga akan memperoleh
x
>
a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2
Cobalah kalian buktikan.
Akibat dari sifat x < a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 < a2 adalah sebagai berikut.
x2 < a2
⇔ x2– a2 < 0
⇔ (x – a)(x + a) < 0
Pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan itu adalah
(x – a)(x + a) < 0
⇔ x – a = 0 atau x + a = 0
⇔ x = a atau x = −a
Gambar garis bilangannya merupakan sebagai berikut.
Kemudian kita uji sebuah titik, contohnya 0 (nol).
(x – a)(x + a) = 0
x = 0 → (0 – a)(0 + a)
⇔ (−a)(a)
⇔−(a)2 < 0
Karena buat x = 0 bernilai negatif (−a2 < 0) maka pernyataan tersebut benar sehingga tanda menurut garis sapta itu adalah menjadi berikut.
Interval yg memenuhi pertidaksamaan itu merupakan –a < x < a.
Akibat menurut sifat x > a, buat a ≥ 0 ⇔ x2 > a2 merupakan sebagai berikut.
x2 > a2
⇔ x2– a2 > 0
⇔ (x – a)(x + a) > 0
Pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu adalah x = a a tau x = −a dan garis bilangannya merupakan menjadi berikut.
Karena wilayah yang diminta positif, maka daerah yang memenuhi adalah x < −a atau x > a misalnya yang diperlihatkan dalam gambar berikut.
Analog menggunakan ke 2 hal pada atas, tentu kalian dapat memperlihatkan bahwa x ≤ a, a ≥ 0 ⇔−a ≤ x ≤ a dan untuk x ≥ a, a ≥ 0 ⇔ x ≤−a atau x ≥a. Jadi, bisa disimpulkan bahwa buat a ≥ 0, berlaku
x < a ⇔−a < x < a
x ≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a
x > a ⇔ x < −a atau x > a
x ≥ a ⇔ x ≤−a atau x ≥ a
Pertidaksamaan nilai absolut merupakan suatu pertidaksamaan yang variabelnya berada pada indikasi mutlak. Misalnya,
x – 1 < tiga, x2 + 3x > lima – 2x, dan x + 12– dua ≤ x + 1.
Dari uraian di atas, buat menuntaskan suatu pertidaksamaan nilai absolut, dapat kita pakai sifat-sifat berikut.
Jika a ∈ R serta a ≥ 0 maka
1.
a.
x < a ⇔−a < x < a
b.
x ≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a
c.
x > a ⇔ x < −a atau x > a
d.
x ≥ a ⇔ x ≤−a atau x ≥ a
2.
x = √x2
Contoh Soal:
Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
2x – tiga ≤ 7
Jawab:
Dengan memakai sifat 1 (b), diperoleh:
−7 ≤ 2x – tiga ≤ 7
⇔−7 + 3 ≤ 2x ≤ 7 + 3
⇔−4 ≤ 2x ≤ 10
⇔−dua ≤ x ≤ 5
Jadi, himpunan solusinya adalah x −dua ≤ x ≤ 5, x ∈ R.
4. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Polinomial
Bentuk polinomial merupakan bentuk suku poly. Dalam bentuk spesifik, polinomial berderajat 2 biasa disebut bentuk kuadrat. Bentuk umum polinomial merupakan menjadi berikut.
anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a1x + a0
Pertidaksamaan yang akan kita bahas kali ini lebih ditekankan pada pertidaksamaan polinomial yang bisa difaktorkan. Bagaimana cara menyelesaikannya? Ikuti langkah-langkah ini dia.
1. Faktorkan suku banyak itu.
2. Tentukan penghasil nol suku banyak.
3. Gambar garis bilangan yang memuat produsen nol.
4. Tentukan interval pada mana bernilai positif dan di mana bernilai negatif. Tanda wilayah terdekat (selesainya melewati produsen nol) berubah indikasi apabila pangkat gasal, sedangkan jika pangkatnya genap, tanda tidak berubah.
Misalkan:
(x – a)3(x – b)(x – c) ≥ 0
(x – a)2(x – b)(x – c) ≥ 0
5. Tentukan wilayah yang memenuhi persoalan tersebut.
Contoh Soal :
Tentukan penyelesaian menurut pertidaksamaan x2(x – 2)(x + tiga) < 0.
Jawab:
x2(x – dua)(x + tiga) < 0
pembuat nolnya adalah menjadi berikut.
●x2 = 0 ⇔ x = 0
●x – 2 = 0 ⇔ x = 2
●x + tiga = 0 ⇔ x = −3
Gambar garis sapta yang memuat 3 penghasil nol tadi merupakan menjadi berikut.
Kemudian kita tentukan indikasi interval, menggunakan memasukkan salah satu nilai x.
Misalkan buat x = 1 maka:
⇒ x2(x – dua)(x + tiga)
⇒ (1)2(1 – 2)(1 + 3)
⇒ (1)(−1)(4)
⇒−4
Karena −4 < 0, maka tanda interval yang memuat nilai x = 1 bernilai negatif. Kita ketahui bahwa variabel x berpangkat 2 (genap), itu artinya sebalah kanan serta kiri nilai produsen nol untuk x2 (pada hal ini 0) harus bertanda sama, yaitu negatif.
Dengan demikian dua tanda interval yang tersisa yaitu di sebelah kiri -3 serta sebelah kanan dua harus bertanda positif. Tanda-tanda interval dalam garis bilangan pada atas merupakan menjadi berikut.
Karena yang diminta pada soal adalah himpunan sapta yg lebih mini atau sama menggunakan nol (< 0), maka solusinya merupakan daerah negatif. Berikut ini gambar garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan yg diminta.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = x −tiga < x < 0 atau 0 < x < dua, x ∈ R.
