Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar Contoh Soal dan Pembahasan Terbaru
Pertidaksamaan bentuk akar acapkali disebut jua pertidaksamaan irrasional, yaitu pertidaksamaan yg variabelnya masih ada dalam indikasi akar. Pertidaksamaan bentuk akar mempunyai 8 macam bentuk standar (generik) yaitu menjadi berikut.
1.
√u(x) < a
1.
√u(x) < √v(x)
2.
√u(x)≤ a
2.
√u(x)≤√v(x)
3.
√u(x) > a
3.
√u(x) > √v(x)
4.
√u(x)≥ a
4.
√u(x)≥√v(x)
Dengan a ≥ 0, a ∈ R (a bilangan real positif atau nol).
u(x) serta v(x) adalah fungsi-fungsi pada x dengan u(x) ≥ 0 dan v(x) ≥ 0.
Misalkan kita mempunyai dua bilangan p serta q.
■Misalkan p = 5 maka 52 = 25
q = 8 maka 82 = 64
Tampak bahwa 0 < lima < 8 serta 52 < 82
■Misalkan p = 1 maka 12 = 1
q = 3 maka 32 = 9
Tampak bahwa 0 < 1 < tiga dan 12 < 32
Berdasarkan contoh di atas, secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Jika p serta q ∈ R menggunakan 0 < p < q,
maka p2 < q2
Dengan sifat tadi, kita dapat menuntaskan sistem pertidaksamaan bentuk akar dengan langkah-langkah menjadi berikut.
1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan itu (indikasi pertidaksamaan permanen). Kemudian, selesaikan.
2. Tentukan kondisi bahwa bentuk akar masing-masing ruas terdefinisi atau bernilai real, yaitu bilangan pada pada pertanda akar bernilai positif atau nol.
3. Tentukan interval yg memenuhi penyelesaian dalam langkah pertama dan langkah ke 2 (cari irisannya).
Agar kalian lebih tahu cara penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar, perhatikan beberapa contoh soal serta pembahasannya ini dia.
Contoh Soal 1:
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional berikut.
√x + 5 < 4
Jawab:
1. Kedua ruas dikuadratkan, sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.
⇒ (√x + lima)2 < 42
⇒ x + 5 < 16
⇒ x < 16 – 5
⇒ x < 11 ……………. (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x + 5 ≥ 0
⇒ x ≥−lima …………… (2)
3. Penyelesaian yang memenuhi dari (1) dan (dua) adalah irisan kedua interval itu. Jadi, solusinya adalah −lima ≤ x < 11. Dengan demikian, himpunan solusinya merupakan x −5 ≤ x < 11, x ∈ R. Himpunan penyelesaian ini tampak pada garis bilangan pada bawah ini.
Contoh Soal dua:
Tentukanlah himpunan penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan ini dia.
√2 + 3x≤√3 + 2x
Jawab:
1. Kedua ruas dikuadratkan sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ (√dua + 3x)2≤ (√3 + 2x)2
⇒ dua + 3x ≤ 3 + 2x
⇒ 3x – 2x ≤ tiga – 2
⇒ x ≤ 1 ……………. (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ dua + 3x ≥ 0
⇒ 3x ≥ 0 – 2
⇒ 3x ≥–2
⇒ x ≥–dua/tiga ……………. (2)
3. Syarat v(x) ≥ 0
⇒ 3 + 2x ≥ 0
⇒ 2x ≥ 0 – 3
⇒ 2x ≥–3
⇒ x ≥–3/2 ……………. (3)
4. Penyelesaian yang memenuhi dari (1), (2), dan (3) adalah irisan ketiga interval tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x –2/3≤ x ≤1, x ∈ R}. Himpunan penyelesaiannya dapat digambarkan pada garis bilangan pada bawah ini.
Contoh Soal 3:
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
√2x + 1≥ 2
Jawab:
1. Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh bentuk pertidaksamaan berikut.
⇒ (√2x + 1)dua≥ 22
⇒ 2x + 1 ≥ 4
⇒ 2x ≥ 4 – 1
⇒ 2x ≥ 3
⇒ x ≥tiga/2 ……………. (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ 2x + 1 ≥ 0
⇒ 2x ≥ 0 – 1
⇒ 2x ≥–1
⇒ x ≥–1/dua ……………. (dua)
3. Penyelesaian yang memenuhi menurut (1) serta (dua) adalah irisan kedua interval itu. Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan x x ≥tiga/2, x ∈ R.
Contoh Soal 4:
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
√x–√x + 1≥ 0
Jawab:
1. Pindahkan galat satu bentuk akar ke kanan sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.
⇒√x ≥√x + 1
Bentuk pertidaksamaan ini tidak perlu dikuadratkan karena bila dikuadratkan kemudian variabel x diselisihkan, maka variabel x akan hilang sehingga kita penyelesaiannya nir dapat dipengaruhi, misalkan:
⇒ (√x)dua ≥ (√x + 1)2
⇒ x ≥ x + 1
⇒ x – x ≥ 1
⇒ 0 ≥ 1 (nir mungkin).
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x ≥ 0 ……………. (1)
3. Syarat v(x) ≥ 0
⇒ x + 1 ≥ 0
⇒ x ≥−1 ……………. (dua)
3. Irisan interval (1) serta (dua) merupakan x ≥ 0, sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √x–√x + 1≥ 0 adalah x x ≥ 0, x ∈ R.
Contoh Soal lima:
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut ini.
√x2≥ dua√x2– 1
Jawab:
1. Kedua ruas kita kuadratkan sebagai akibatnya diperoleh pertidaksamaan berikut.
⇒ (√x2)dua≥ (2√x2– 1)2
⇒ x2≥ 4(x2– 1)
⇒ x2≥ 4x2– 4
⇒ x2 – 4x2 + 4 ≥ 0
⇒–3x2 + 4 ≥ 0
⇒ 3x2− 4 ≤ 0
Kita tentukan produsen nol (batas interval) berdasarkan pertidaksamaan 3x2− 4 ≤ 0, yaitu menjadi berikut.
⇒ 3x2− 4 = 0
⇒ 3x2 = 4
⇒ x2 = 4/3
⇒ x= ± √4/3
⇒ x = √4/3 atau x = −√4/3 ............... Penyelesaian (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x2≥ 0
⇒ x ≥ 0 ............... Penyelesaian (dua)
3. Syarat v(x) ≥ 0
⇒ x2– 1 ≥ 0
Ini merupakan bentuk pertidaksamaan kuadrat. Oleh karena itu kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat ini menggunakan menentukan batas-batas penghasil nolnya, yaitu sebagai berikut.
⇒ x2– 1 = 0
⇒ (x + 1)(x – 1) = 0
⇒ x = −1 atau x = 1 ............... Penyelesaian (3)
4. Penyelesaian dari pertidaksamaan √x2≥ dua√x2– 1 adalah himpunan yang merupakan irisan dari penyelesaian (1), (2) dan (3) seperti yang diperlihatkan pada garis bilangan berikut ini.
Dari gambar irisan garis bilangan pada atas, maka himpunan penyelesaian berdasarkan pertidaksamaan tadi adalah x 1 < x ≤√4/3, x ∈ R.
Contoh Soal 6:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) berdasarkan pertidaksamaan bentuk akar berikut adalah.
√x2– x – 2 < 2
Jawab:
1. Kedua ruas dikuadratkan sebagai akibatnya diperoleh:
⇒ (√x2– x – dua)2 < 22
⇒ x2– x – dua < 4
⇒ x2– x – 2 – 4 < 0
⇒ x2– x – 6 < 0
Sampai di sini kita peroleh bentuk pertidaksamaan kuadrat. Kemudian kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat ini.
⇒ (x + 2)(x – tiga) < 4
⇒ x = −dua atau x = tiga ............... Penyelesaian (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x2– x – dua ≥ 0
⇒ (x + 1)(x – 2) ≥ 0
⇒ x = −1 atau x = dua ............... Penyelesaian (dua)
3. Penyelesaian menurut pertidaksamaan √x2– x – 2 < 2 adalah himpunan yang adalah irisan dari penyelesaian (1) dan penyelesaian (dua) misalnya yang diperlihatkan pada garis bilangan berikut ini.
Dari gambar irisan garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tadi adalah x −2 < x ≤−1 atau dua ≤ x < tiga, x ∈R.
Contoh Soal 7:
Tentukan himpunan penyelesaian (HP) berdasarkan pertidaksamaan bentuk akar berikut adalah.
√x2– 4 > x – 3
Jawab:
1. Kuadratkan ruas kanan dan kiri sehingga kita peroleh:
⇒ (√x2– 4)dua > (x – 3)2
⇒ x2– 4 > x2– 6x + 9
⇒ x2– x2 + 6x > 9 + 4
⇒ 6x > 13
⇒ x > 13/6
⇒ x > 21/6 ............... Penyelesaian (1)
2. Syarat u(x) ≥ 0
⇒ x2– 4 ≥ 0
⇒ (x + 2)(x – dua) ≥ 0
⇒ x = −dua atau x = 2 ............... Penyelesaian (dua)
3. Irisan menurut penyelesaian (1) dan penyelesaian (2) diperlihatkan misalnya pada garis gambar garis sapta ini dia.
Dari gambar irisan garis bilangan tadi, maka himpunan penyelesaian menurut pertidaksamaan itu merupakan x x > 21/6, x ∈ R.
